Cho hàm số \(y = {e^{{x^3} + 3x + 1}}\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Ta có \(y' = {e^{{x^3} + 3x + 1}}.{\left( {{x^3} + 3x + 1} \right)^\prime } = {e^{{x^3} + 3x + 1}}.\left( {3{x^2} + 3} \right)\).

b) Có \({x_0} = 0\)\( \Rightarrow {y_0} = e\).

Hệ số góc của tiếp tuyến là \(k = y'\left( 0 \right) = 3e\).

Phương trình tiếp tuyến là: \(y = 3e\left( {x - 0} \right) + e = 3ex + e\).

c) \(y' = 3e\left( {{x^2} + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow {e^{{x^3} + 3x + 1}}.\left( {3{x^2} + 3} \right) = 3e\left( {{x^2} + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow 3{e^{{x^3} + 3x + 1}}.\left( {{x^2} + 1} \right) = 3e\left( {{x^2} + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^3} + 3x + 1 = 1\)\( \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 0\).

d) Ta có \(y' \ge 2mx.{e^{{x^3} + 3x + 1}} \Leftrightarrow {e^{{x^3} + 3x + 1}}.\left( {3{x^2} + 3} \right) \ge 2mx.{e^{{x^3} + 3x + 1}}\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 3 \ge 2mx\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 2mx + 3 \ge 0\).

Để bất phương trình nghiệm đúng với \(\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 > 0\\\Delta ' = {m^2} - 9 \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow  - 3 \le m \le 3\).

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}\).

Vậy có 7 giá trị nguyên thỏa mãn.