Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\mx + y = 2m\end{array} \right.\). Hỏi với giá trị của \(m\) bằng bao nhiêu thì hệ phương trình vô nghiệm?

Đáp án: 3

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}mx + 2my = m + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x + \left( {m + 1} \right)y = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Từ phương trình (2), ta có: \[x = 2 - \left( {m + 1} \right)y.\]

Thay \[x = 2 - \left( {m + 1} \right)y\] vào phương trình (1), ta được:

\[m\left[ {2 - \left( {m + 1} \right)y} \right] + 2my = m + 1\]

\[2m - \left( {{m^2} + m} \right)y + 2my = m + 1\]

\[\left( { - {m^2} + m} \right)y = - m + 1\]

\[ - m\left( {m - 1} \right)y = - \left( {m - 1} \right)\]

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì \[m \ne 0\] và \[m \ne 1.\]

Khi đó ta có \[y = \frac{{ - \left( {m - 1} \right)}}{{ - m\left( {m - 1} \right)}} = \frac{1}{m}.\]

Suy ra \[x = 2 - \left( {m + 1} \right) \cdot \frac{1}{m} = \frac{{2m - m - 1}}{m} = \frac{{m - 1}}{m}.\]

Vì vậy \[G = x - y = \frac{{m - 1}}{m} - \frac{1}{m} = 1 - \frac{1}{m} - \frac{1}{m} = 1 - \frac{2}{m}.\]

Với \(m \in \mathbb{Z},\) để biểu thức \[A\] nhận giá trị nguyên thì \[\frac{2}{m}\] nhận giá trị nguyên.

Suy ra \[m \in \]Ư\[\left( 2 \right) = \left\{ { - 2; - 1;1;2} \right\}.\]

So với điều kiện \[m \ne 0\] và \[m \ne 1,\] ta nhận \[m \in \left\{ { - 2; - 1;2} \right\}.\]

Do đó, có 3 giá trị thỏa mãn.

Đáp án đúng là: B

Cách 1. Sử dụng máy tính cầm tay, ta lần lượt bấm các phím theo thứ tự:

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( { - 2;\,\,1} \right)\).

Khi đó, \[{x^3} + {y^3} = {\left( { - 2} \right)^3} + {1^3} = - 7\].

Cách 2. Xét hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2x - y = - 5\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Từ (1) suy ra \(x = 1 - 3y\). Thế \(x = 1 - 3y\) vào (2) ta được phương trình \(2\left( {1 - 3y} \right) - y = - 5\).

Giải phương trình:

\(2\left( {1 - 3y} \right) - y = - 5\)

\(2 - 6y - y = - 5\)

\( - 7y = - 7\)

\(y = 1\).

Thay \(y = 1\) vào phương trình \(x = 1 - 3y\), ta được: \(x = 1 - 3 \cdot 1 = - 2.\)

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( { - 2;\,\,1} \right)\).

Khi đó, \[{x^3} + {y^3} = {\left( { - 2} \right)^3} + {1^3} = - 7\].