Cho hình vuông \({C_1}\) có độ dài cạnh bằng \(4.\) Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để được hình vuông \({C_2}\)(tham khảo hình vẽ). Từ hình vuông \({C_2}\) tiếp tục làm như vậy để được hình vuông \({C_3}, \ldots .\)Tiếp tục quá trình trên ta được dãy các hình vuông \({C_1},{C_2},{C_3}, \ldots ,{C_n} \ldots .\)Gọi \({S_1},{S_2},{S_3}, \ldots ,{S_n} \ldots \)tương ứng là diện tích các hình vuông \({C_1},{C_2},{C_3}, \ldots ,{C_n} \ldots .\)Tính tổng \({S_1} + {S_2} + {S_3} +  \ldots  + {S_n} +  \ldots \)(nhập kết quả dưới dạng phân số \(\frac{a}{b}\)).

Giải chi tiết:

Trong thí nghiệm tán xạ hạt alpha, phần lớn các hạt alpha xuyên thẳng qua tấm vàng mỏng mà không xảy ra tương tác với nguyên tử vàng, điều này chứng tỏ nguyên tử không hoàn toàn đặc.

Đáp án cần chọn là: D

Giải chi tiết:

Gọi \(A\) và \(B\) lần lượt là biến cố huyện A và B có mưa trong một ngày.

Ta có \(P(\bar A\mid \bar B) = 0,65\); \(P(\bar B\mid \bar A) = 0,6\) và \(P(A \cap B) = 0,1\).

Suy ra \(P(A\mid \bar B) = 0,35\) và \(P(B\mid \bar A) = 0,4\).

Đặt \(a = P(A)\) và \(b = P(B)\) với \(a,b \in [0;1]\).

Khi đó ta có: \(0,35 = P(A\mid \bar B) = \frac{{P(A \cap \bar B)}}{{P(\bar B)}} = \frac{{P(A) - P(A \cap B)}}{{1 - P(B)}} = \frac{{a - 0,1}}{{1 - b}} \Rightarrow 20a + 7b = 9\quad (1)\)

Tương tự: \(0,4 = P(B\mid \bar A) = \frac{{P(B \cap \bar A)}}{{P(\bar A)}} = \frac{{P(B) - P(A \cap B)}}{{1 - P(A)}} = \frac{{b - 0,1}}{{1 - a}} \Rightarrow 2a + 5b = 2,5\quad (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra \(a = \frac{{55}}{{172}},b = \frac{{16}}{{43}}\).

Vậy xác suất để ít nhất một trong hai huyện có mưa trong một ngày là

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{{55}}{{172}} + \frac{{16}}{{43}} - 0,1 = \frac{{509}}{{860}}.\]