Cho hình vuông C1 có độ dài cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để được hình vuông C2
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Giải chi tiết:
Xét dãy \(({a_n})\)là độ dài cạnh của dãy hình vuông \({C_1},{C_2},{C_3}, \ldots ,{C_n} \ldots \)với \({a_1} = 4.\)
Ta có \({a_2} = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{4}{a_1}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{4}{a_1}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {10} }}{4}{a_1}.\)
...
\({a_{n + 1}} = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{4}{a_n}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{4}{a_n}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {10} }}{4}{a_n}.\)
Vậy dãy \(({a_n})\) lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(\frac{{\sqrt {10} }}{4}.\)
Ta có \({S_{n + 1}} = {({a_{n + 1}})^2} = {\left( {{a_n} \cdot \frac{{\sqrt {10} }}{4}} \right)^2} = {({a_n})^2} \cdot \frac{5}{8} = {S_n} \cdot \frac{5}{8}.\)
Suy ra dãy \(({S_n})\) lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q = \frac{5}{8}\) và \({S_1} = 16.\)
Vậy \({S_1} + {S_2} + {S_3} + \ldots + {S_n} + \ldots = \frac{{{S_1}}}{{1 - q}} = \frac{{16}}{{1 - \frac{5}{8}}} = \frac{{128}}{3}.\)
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập