Trong mặt phẳng tọa độ \[\left( {Oxy} \right)\], cho đường tròn \[\left( S \right)\] có tâm \[I\] nằm trên đường thẳng \[y = - x\], bán kính \[R = 3\] và tiếp xúc với các trục tọa độ. Lập phương trình của \[\left( S \right)\], biết hoành độ tâm \[I\] là số dương.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 10

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(B\) lên \(d:3x + 4y + 8 = 0\).

Khi đó khoảng cách từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(d\) là \(BH = \frac{{\left| {3.1 + 4.1 + 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3\).

\(H\) là trung điểm của \(MN\) nên \(HM = 4\).

Suy ra bán kính đường tròn \(\left( C \right)\) là

\(R = \sqrt {B{H^2} + H{M^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\).

Vậy đường kính đường tròn \(\left( C \right)\) là 10.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Elip \(\left( E \right)\) có tiêu điểm \({F_2}\left( {\sqrt 2 ;0} \right) \Rightarrow c = \sqrt 2 \Rightarrow \)tiêu cự bằng \(2\sqrt 2 \).

b) Vì \(A \in \left( E \right) \Leftrightarrow \frac{{{2^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = 4 \Rightarrow a = 2\).

c) Có \({c^2} = {a^2} - {b^2}\) mà \(c = \sqrt 2 \). Do đó \({a^2} - {b^2} = 2\).

d) Có \({a^2} - {b^2} = 2\)\( \Rightarrow {b^2} = 2\). Vậy \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1\).

Thay tọa độ điểm \(B\left( {0;\sqrt 2 } \right)\) vào phương trình \(\left( E \right)\) ta được \(\frac{{{0^2}}}{4} + \frac{2}{2} = 1\) (luôn đúng).

Do đó điểm \(B\left( {0;\sqrt 2 } \right)\) thuộc elip \(\left( E \right)\).