Cho hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình vẽ và phương trình \({f^2}\left( x \right) - \left( {m - 3} \right)f\left( x \right) - 2m + 2 = 0\) (1), (với \(m\) là tham số).

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị đi qua các điểm \(\left( {0;3} \right);\left( {1;0} \right);\left( {2; - 1} \right)\) nên ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}c = 3\\a + b + c = 0\\4a + 2b + c = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 4\\c = 3\end{array} \right.\). Vậy \(y = f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3\).

Ta có \(f\left( 4 \right) = 3\) nên điểm \(M\left( {4;4} \right)\) không thuộc đồ thị hàm số.

b) Với \(m = 1\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có dạng:

\({f^2}\left( x \right) + 2f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = - 2\end{array} \right.\).

Quan sát đồ thị ta thấy \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm \(x = 1;x = 3\).

Quan sát đồ thị ta thấy \(f\left( x \right) = - 2\) vô nghiệm.

Với \(m = 1\) thì phương trình chỉ có hai nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm bằng 4.

c) Theo câu a, ta có \(a = 1 > 0;b = - 4 < 0;c = 3 > 0\).

d) Ta có \({f^2}\left( x \right) - \left( {m - 3} \right)f\left( x \right) - 2m + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = - 2\\f\left( x \right) = m - 1\end{array} \right.\).

Ta có \(f\left( x \right) = - 2\) vô nghiệm.

Phương trình có ít nhất 1 nghiệm khi \(m - 1 \ge - 1 \Leftrightarrow m \ge 0\).