Cho hòn đảo \(D\) cách bờ 4 km (CD = 4km). Ngôi làng \(B\) cách \(C\) một khoảng 7 km. Nhà nước muốn xây dựng một trạm y tế trên đất liền, sao cho có thể phục vụ được cho dân cư ở cả đảo \(D\) và làng \(B\). Biết trung bình vận tốc di chuyển tàu cứu thương là 100 km/h, xe cứu thương là 80 km/h. Vậy nên đặt trạm y tế cách làng \(B\) bao nhiêu \({\rm{km}}\) để thời gian cứu thương cho hai địa điểm là như nhau?

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị \(\left( P \right)\) nhận đường thẳng \(x = 1\) làm trục đối xứng.

b) Dựa vào đồ thị ta có hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Do đó ta có bảng biến thiên

c) Trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) hàm số nghịch biến nên \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = - 3\).

d) \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta có (P) có \(I\left( {1; - 4} \right)\) và đi qua \(\left( {0; - 3} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 1\\a + b + c = - 4\\c = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\a + b = - 1\\c = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\\c = - 3\end{array} \right.\). Vậy \(y = f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 5,5

Chọn hệ trục \(Oth\) như hình vẽ với gốc tọa độ \(O\) là vị trí trên mặt đất thẳng đứng với trực tăng.

Xét phương trình parabol \(\left( P \right):h\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\left( {a \ne 0} \right)\).

Theo giả thiết ta có \(S\left( {0;500} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {5;90} \right)\).

Đỉnh \(S\left( {0;500} \right)\) của \(\left( P \right)\) nằm trên trục tung nên \(\left( P \right):h\left( t \right) = a{t^2} + 500\).

Mặt khác, \(A\left( {5;90} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow a = - 16,4\).

Do đó \(\left( P \right):h\left( t \right) = - 16,4{t^2} + 500\).

Khi nước chạm đất ta được \(\left\{ \begin{array}{l}t > 0\\h\left( t \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t > 0\\ - 16,4{t^2} + 500 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow t \approx 5,52\) (s).

Vậy thời gian để nước đi từ vòi phun đến đám cháy trên mặt đất gần nhất với giá trị 5,5 giây.