Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh  \({A_1}\;,\;{A_2}\;,\;{B_1},{B_2}\) như hình vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 200.000 vnđ/\({m^2}\) và phần còn lại 100.000 vnđ /\({m^2}\). Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết  \({A_1}\;,\;{A_2} = 8m\), \({B_1}\;,\;{B_2} = 6m\) và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có \(MQ = 3m?\)

Gọi phương trình chính tắc của elip \[\left( E \right)\]có dạng:

\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{A_1}{A_2} = 8 = 2a}\\{{B_1}{B_2} = 6 = 2b}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4}\\{b = 3}\end{array}} \right. \Rightarrow \left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow y =  \pm \frac{3}{4}\sqrt {16 - {x^2}} \)

Suy ra diện tích của hình elip là: \({S_E} = \pi ab = 12\pi \;({{\rm{m}}^2})\)

Vì MNPQ là hình chữ nhật và \[MQ = 3 \Rightarrow M\left( {x;\frac{3}{2}} \right) \in \left( E \right).\]

\( \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{1}{4} = 1 \Rightarrow {x^2} = 12 \Rightarrow M\left( { - 2\sqrt 3 ;\frac{3}{2}} \right),\;N\left( {2\sqrt 3 ;\frac{3}{2}} \right)\)

Gọi \({S_1},{S_2}\) lần lượt là diện tích phần bị tô màu và không bị tô màu.

Suy ra: \({S_1} = {S_{(E)}} - {S_2} = 8\pi  + 6\sqrt 3 \).

 Gọi T là tổng chi phí. Khi đó ta có :

\(T = (4\pi  - 6\sqrt 3 ) \cdot 100 + (8\pi  + 6\sqrt 3 ) \cdot 200 = 7322000\) đồng