Trong cuộc thi “Xếp sách nghệ thuật – Thuyết minh mô hình sách” nhân kỉ niệm ngày sách Việt Nam (21/4), trường THPT Lê Hồng Phong có 11 lớp tham gia thi. Hỏi ban giảm khảo có bao nhiêu cách chọn ra ba lớp xếp ba giải nhất, nhì, ba?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi số cần tìm có dạng \[\overline {abcd} \] với \[\left( {a,b,c,d} \right) \in A = \left\{ {0,1,2,3,4,5} \right\}.\]

Vì \[\overline {abcd} \] là số chẵn \[ \Rightarrow \,\,d = \left\{ {0,2,4} \right\}.\]

TH1. Nếu \[d = 0,\] số cần tìm là \[\overline {abc0} .\] Khi đó:

\( \bullet \) \[a\] được chọn từ tập \[A{\rm{\backslash }}\left\{ 0 \right\}\] nên có \[5\] cách chọn.

\( \bullet \) \[b\] được chọn từ tập \[A{\rm{\backslash }}\left\{ {0,\,\,a} \right\}\] nên có \[4\] cách chọn.

\( \bullet \) \[c\] được chọn từ tập \[A{\rm{\backslash }}\left\{ {0,\,\,a,\,\,b} \right\}\] nên có \[3\] cách chọn.

Như vậy, ta có \[5 \times 4 \times 3 = 60\] số có dạng \[\overline {abc0} .\]

TH2. Nếu \[d = \left\{ {2,4} \right\} \Rightarrow \,\,d:\] có \[2\] cách chọn.

Khi đó \[a:\] có \[4\] cách chọn, \[b:\] có \[4\] cách chọn và \[c:\] có \[3\] cách chọn.

Như vậy, ta có \[2 \times 4 \times 4 \times 3 = 96\] số cần tìm như trên.

Vậy có tất cả \[60 + 96 = 156\] số cần tìm.

Hướng dẫn giải

Ta có \(M = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}\left( {1 - a} \right) + C_4^2{a^2}{\left( {1 - a} \right)^2} + C_4^3a{\left( {1 - a} \right)^3} + C_4^4{\left( {1 - a} \right)^4} = {\left[ {a + \left( {1 - a} \right)} \right]^4} = 1\).