a) Chứng minh giá trị của biểu thức \[A\] sau đây không phụ thuộc vào giá trị của biến.

\(A = x\left( {2x - 3} \right) + 2{x^2}\left( {x - 2} \right) - 2x\left( {{x^2} - x + 1} \right) + \left( {5{x^2} - 5x} \right):x\).

b) Chứng minh rằng \({\left( {2n + 3} \right)^2} - {\left( {2n - 1} \right)^2}\) chia hết cho 8 với \(n \in \mathbb{Z}\).

a) Ta có \(A = x\left( {2x - 3} \right) + 2{x^2}\left( {x - 2} \right) - 2x\left( {{x^2} - x + 1} \right) + \left( {5{x^2} - 5x} \right):x\)

\( = \left( {2{x^2} - 3x} \right) + \left( {2{x^3} - 4{x^2}} \right) - \left( {2{x^3} - 2{x^2} + 2x} \right) + \left( {5x - 5} \right)\)
\( = 2{x^2} - 3x + 2{x^3} - 2{x^3} - 4{x^2} + 2{x^2} - 2x + 5x - 5\)

\[ = \left( {2{x^3} - 2{x^3}} \right) + \left( {2{x^2} - 4{x^2} + 2{x^2}} \right) + \left( {5x - 2x - 3x} \right) - 5 = - 5\].

Vậy giá trị của biểu thức .\[A\]. không phụ thuộc vào giá trị của biến.

b) Ta có \({\left( {2n + 3} \right)^2} - {\left( {2n - 1} \right)^2}\)

\( = \left( {2n + 3 - 2n + 1} \right)\left( {2n + 3 + 2n - 1} \right)\)

\( = 4\left( {4n + 2} \right) = 8\left( {2n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,8\) (đpcm)