Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \[A,\] đường cao \[AH.\] Kẻ \(HP \bot AB\,\,\left( {P \in AB} \right)\),\(HQ \bot AC\,\)\(\left( {Q \in AC} \right)\). Gọi \[K\] là trung điểm của \[HC;\,\,O\] là giao điểm của \[AH\] và \[PQ.\]

a) Tứ giác \[AQHP\] là hình gì? Vì sao ?

b) Chứng minh \(\Delta KQH\) cân và \[OK\] là đường trung trực của \[HQ.\]

c) Tìm điều kiện của tam giác \[ABC\] để tứ giác \[AOKC\] là hình thang cân.

a) Tứ giác \[AQHP\] có:

\(\widehat {PAQ} = 90^\circ \) (gt)

\(\widehat {APH} = 90^\circ \,\,\,\left( {HP \bot AB} \right)\)

\(\widehat {AQH} = 90^\circ \,\,\,\left( {HQ \bot AC} \right)\)

Do đó tứ giác \[AQHP\] là hình chữ nhật.

b) Xét tam giác \[HQC\] vuông tại \[Q,\] có \[QK\] là đường trung tuyến nên

\(QK = KH = KC = \frac{1}{2}HC\).

Suy ra, tam giác \[KQH\] cân tại \[K\].

Tứ giác \[AQHP\] là hình chữ nhật (câu a) nên \[OP = OH = OA = OQ\]

Ta có: \[OH = OQ\] mà \[KH = KQ\] (cmt)

Suy ra \[OK\] là đường trung trực của HQ

c) Gọi giao điểm của \[HQ\] và \[OK\] là \[I\].

Theo câu b: \[OK\] là đường trung trực của \[HQ\].

Suy ra \[OK\] vuông góc với \[HQ\] tại \[I\] nên \(\widehat {HIK} = \widehat {HQC} = 90^\circ \)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \[OK{\rm{ // }}AC\].

Suy ra tứ giác \[AOKC\] là hình thang.

Để hình thang \[AOKC\] là hình thang cân thì \(\widehat {OAC} = \widehat {KCA}\)

Suy ra \(\widehat {OAC} = \widehat {KCA} = 45^\circ \) \(\left( {\Delta AHC} \right.\) vuông tại \[H)\]

Do đó, \(\Delta ABC\) vuông cân tại \[A\].