Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) và \(B\). Biết \(A\left( {1;2;1} \right)\), \(B\left( {2;0; - 1} \right)\), \(C\left( {6;1;0} \right)\) và diện tích hình thang \(ABCD\) bằng \(6\sqrt 2 \).

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2; - 2} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {5; - 1; - 1} \right)\)

Þ \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \frac{{1.5 - 2.\left( { - 1} \right) - 2\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} .\sqrt {{5^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

Chọn ĐÚNG.

b) Ta có \(AB = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}}  = 3\)

\(\overrightarrow {BC}  = \left( {4;1;1} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{4^2} + {1^2} + {1^2}}  = 3\sqrt 2 \)

Diện tích hình thang \(ABCD\) là \(S = \frac{{\left( {AD + BC} \right).AB}}{2} = \frac{{\left( {AD + 3\sqrt 2 } \right).3}}{2}\)

Þ \(\frac{{\left( {AD + 3\sqrt 2 } \right).3}}{2} = 6\sqrt 2  \Rightarrow AD = \sqrt 2 \)

Þ \(\overrightarrow {AD}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 = \frac{1}{3}.4\\b - 2 = \frac{1}{3}.1\\c - 1 = \frac{1}{3}.1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{3}\\b = \frac{7}{3}\\c = \frac{4}{3}\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 6\)

Chọn SAI.

c) Gọi \(I\) là điểm thoả mãn \(\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + 2{x_B} + 3{x_C}}}{{1 + 2 + 3}} = \frac{{23}}{6}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + 2{y_B} + 3{y_C}}}{{1 + 2 + 3}} = \frac{5}{6}\\{z_I} = \frac{{{z_A} + 2{z_B} + 3{z_C}}}{{1 + 2 + 3}} = \frac{{ - 1}}{6}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{{23}}{6};\frac{5}{6};\frac{{ - 1}}{6}} \right)\)

Ta có \[M{A^2} + 2M{B^2} + 3M{C^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + 2{\overrightarrow {MB} ^2} + 3{\overrightarrow {MC} ^2}\]

      \[ = {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\]

      \[ = 6{\overrightarrow {MI} ^2} + 2\overrightarrow {MI} .\left( {\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC} } \right) + {\overrightarrow {IA} ^2} + 2{\overrightarrow {IB} ^2} + 3{\overrightarrow {IC} ^2}\]

      \[ = 6M{I^2} + I{A^2} + 2I{B^2} + 3I{C^2}\]

Ta có \[I{A^2} + 2I{B^2} + 3I{C^2}\] không đổi nên \(M{A^2} + 2M{B^2} + 3M{C^2}\) nhỏ nhất khi \(MI\) nhỏ nhất

Þ \(M\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)

Þ \(M\left( {\frac{{23}}{6};\frac{5}{6};0} \right)\) Þ \({x_M} = \frac{{23}}{6} < 4\).

Cách khác

Vì \(M \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow M\left( {x;y;0} \right)\)

Þ \[M{A^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {0 - 1} \right)^2} = {x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 6\]

      \(M{B^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {1^2} = {x^2} + {y^2} - 4x + 5\)

      \(M{C^2} = {\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {0^2} = {x^2} + {y^2} - 12x - 2y + 37\)

Þ \[M{A^2} + 2M{B^2} + 3M{C^2} = 6{x^2} + 6{y^2} - 46x - 10y + 127 = 6{\left( {x - \frac{{23}}{6}} \right)^2} + 6{\left( {y - \frac{5}{6}} \right)^2} + \frac{{104}}{3}\]

Þ \[M{A^2} + 2M{B^2} + 3M{C^2} \ge \frac{{104}}{3}\]

Đẳng thức xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{23}}{6}\\y = \frac{5}{6}\end{array} \right.\] Þ \(M\left( {\frac{{23}}{6};\frac{5}{6};0} \right) \Rightarrow {x_M} = \frac{{23}}{6} < 4\).

Chọn ĐÚNG.

d) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 1.5 - 2.\left( { - 1} \right) - 2\left( { - 1} \right) = 9\)Ta có \(y' = f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\)

Chọn ĐÚNG.