Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {4\,;\,5\,;\,6} \right)\), \(B\left( {2\,;\,4\,;\,9} \right)\) và mặt phẳng $\left(P\right):2x+y-z+3=0$

Đáp án: 5,25.

Gọi \(x\) là số lượng máy bán được trong một tháng và \(p\) là giá bán (triệu đồng/chiếc).

Vì hàm cầu là hàm bậc nhất, ta có dạng: \(p = ax + b\).

Theo bài ra:

Khi \(p = 5\) thì \(x = 100 \Rightarrow 100a + b = 5\) (1)

Khi \(p = 4,5\) thì \(x = 120 \Rightarrow 120a + b = 4,5\) (2)

Từ (1) và (2) ta được: \(a =  - 0,025\), \(b = 7,5\).

Vậy hàm cầu là: \(p =  - 0,025x + 7,5\).

Thiết lập hàm lợi nhuận \(L(x)\):

Doanh thu: \(R(x) = p \cdot x = ( - 0,025x + 7,5)x =  - 0,025{x^2} + 7,5x\).

Tổng chi phí: \(C(x) = \bar C(x) \cdot x = \frac{{3x + 50}}{x} \cdot x = 3x + 50\).

Lợi nhuận: \(L(x) = R(x) - C(x) = ( - 0,025{x^2} + 7,5x) - (3x + 50) =  - 0,025{x^2} + 4,5x - 50\).

Lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất khi \(x =  - \frac{{4,5}}{{2.\left( { - 0,025} \right)}} = 90\).

Khi đó giá bán tương ứng là \(p =  - 0,025.90 + 7,5 = 5,25\)(triệu đồng/chiếc).

Đáp án: 7,11.

Trong hệ tọa độ \(Oxy\) chứa đường elip có hai trục \(AB,CD\) ta có phương trình đường elip là đường viền chân núi là \(\frac{{{x^2}}}{{{{200}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{100}^2}}} = 1\)

Trong mặt phẳng chứa đường tròn đường kính \(AB\) vuông góc với mặt đất thì phương trình đường tròn là \({x^2} + {y^2} = {200^2}\).

Trong mặt phẳng vuông góc với \(AB\) cắt ngọn núi theo mặt cắt có dạng parabol thì diện tích mặt cắt được tính theo công thức \(S = \frac{2}{3}h.D\).

Trong đó \(h\left( x \right) = \sqrt {{{200}^2} - {x^2}} \), \(D = 2.100\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{200}^2}}}}  = 200\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{200}^2}}}} \)

Vậy diện tích mặt cắt là \(S\left( x \right) = \frac{2}{3}.\sqrt {{{200}^2} - {x^2}} .200.\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{200}^2}}}} \)\( = \frac{{2\left( {{{200}^2} - {x^2}} \right)}}{3}\)

Khi đó thể tích ngọn núi bằng \(V = \int\limits_{ - 200}^{200} {S\left( x \right)dx = \int\limits_{ - 200}^{200} {\frac{{2\left( {{{200}^2} - {x^2}} \right)}}{3}dx} } \)\( \approx 7,11\)(triệu \({m^3}\))