Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {4\,;\,5\,;\,6} \right)\), \(B\left( {2\,;\,4\,;\,9} \right)\) và mặt phẳng $\left(P\right):2x+y-z+3=0$

Đáp án: 5,25.

Gọi \(x\) là số lượng máy bán được trong một tháng và \(p\) là giá bán (triệu đồng/chiếc).

Vì hàm cầu là hàm bậc nhất, ta có dạng: \(p = ax + b\).

Theo bài ra:

Khi \(p = 5\) thì \(x = 100 \Rightarrow 100a + b = 5\) (1)

Khi \(p = 4,5\) thì \(x = 120 \Rightarrow 120a + b = 4,5\) (2)

Từ (1) và (2) ta được: \(a =  - 0,025\), \(b = 7,5\).

Vậy hàm cầu là: \(p =  - 0,025x + 7,5\).

Thiết lập hàm lợi nhuận \(L(x)\):

Doanh thu: \(R(x) = p \cdot x = ( - 0,025x + 7,5)x =  - 0,025{x^2} + 7,5x\).

Tổng chi phí: \(C(x) = \bar C(x) \cdot x = \frac{{3x + 50}}{x} \cdot x = 3x + 50\).

Lợi nhuận: \(L(x) = R(x) - C(x) = ( - 0,025{x^2} + 7,5x) - (3x + 50) =  - 0,025{x^2} + 4,5x - 50\).

Lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất khi \(x =  - \frac{{4,5}}{{2.\left( { - 0,025} \right)}} = 90\).

Khi đó giá bán tương ứng là \(p =  - 0,025.90 + 7,5 = 5,25\)(triệu đồng/chiếc).

a) Vận tốc của ô tô kể từ lúc đạp phanh đến khi giảm về tốc độ 30km/h là \(v(t) = 25 - 2t{\rm{ (m/s)}}\)\(v(t) = \int a (t)dt = \int  -  2dt =  - 2t + C\)

Thay \(t = 0\) và \(v(0) = 25\) vào phương trình, ta có:\( - 2(0) + C = 25 \Rightarrow C = 25\)

Phương trình vận tốc theo thời gian của ô tô là \(v(t) = 25 - 2t{\rm{ (m/s)}}\) ĐÚNG.

b) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi giảm về tốc độ 30km/h là 9 giây.

Ta có: \(25 - 2t = \frac{{25}}{3} \Rightarrow 2t = \frac{{50}}{3} \Rightarrow t = \frac{{25}}{3} \approx 8.33{\rm{ s}}\).

Vì \(8.33 \ne 9\) SAI.

c) Quãng đường xe đi được kể từ lúc đạp phanh đến khi giảm về tốc độ 30km/h là \(139{\rm{ m}}\) (làm tròn đến hàng đơn vị).

Quãng đường là tích phân của vận tốc trên đoạn \([0;\frac{{25}}{3}]\).

\(S = \int_0^{\frac{{25}}{3}} {(25 - 2t)} dt = 138.89{\rm{ m}}\)

ĐÚNG.

d) Khi giảm về tốc độ 30km/h, khoảng cách giữa xe và trạm thu phí là \(161{\rm{ m}}\) (làm tròn đến hàng đơn vị).

Giai đoạn đầu:  \({S_1} = \int_0^4 2 5dt = 100\)

Giai đoạn sau, xe bắt đầu hãm phanh:

\({S_2} = \int_0^{\frac{{25}}{3}} {(25 - 2t)} dt = \frac{{1250}}{9}\)

Tổng quãng đường xe thực tế đã di chuyển là \(S = {S_1} + {S_2} = 100 + 138,89 = 238,89\) m

Khoảng cách ban đầu từ xe đến trạm thu phí là 400 m, do đó khoảng cách còn lại sẽ là \(400 - 238,89 = 161,11\) m.

ĐÚNG.