PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.

Mỗi ngày bác Sơn đều đi bộ để rèn luyện sức khoẻ. Quảng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bác Sơn được thống kê ở bảng sau:

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

a) [NB] Ta có:\[O\left( {0;0;0} \right)\], \[C\left( {20;{\rm{ }}0;{\rm{ }}0} \right)\], \[B\left( {0,{\rm{ }}16,{\rm{ }}0} \right)\], \[D\left( {20,{\rm{ }}0,{\rm{ }}9} \right)\], \[E\left( {0,{\rm{ }}16,{\rm{ }}12} \right)\]

\(OD = \sqrt {{{20}^2} + {0^2} + {9^2}}  = \sqrt {400 + 81} \)

\(OD \approx 21,93\left( {km} \right)\)

Đổi ra mét và làm tròn: \(OD \approx 21{\rm{ }}930\left( m \right) = 22{\rm{ }}000\left( m \right)\). Chọn: SAI.

b) [TH].

Gọi tọa độ của \(I(x,{\rm{ }}y,{\rm{ }}z)\)

Theo đầu bài ta có: \(\overrightarrow {DI}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {DE} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 20 =  - 5}\\{y - 0 = 4}\\{z - 9 = \frac{3}{4}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 15}\\{y = 4}\\{z = \frac{{39}}{4}}\end{array}} \right.\).

Vậy: Độ cao của điểm \(I\) là \(\frac{{39}}{4} = 9,75\) nên máy bay cách mặt đất \(9,75\left( {km} \right){\rm{  =  }}9750{\mkern 1mu} \left( m \right)\).

Chọn: ĐÚNG.

c) [TH] Ta có: \(\overrightarrow {DP}  = ( - 4;3,2;0,6)\) mà

Vậy: \(\overrightarrow {DE}  = 5\overrightarrow {DP} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {DE} \) và \(\overrightarrow {DP} \) là hai vectơ cùng phương.

Vậy: \(P \in DE\). Chọn: ĐÚNG.

d) [VD]Rađa theo dõi trong bán kính: \(R = 20\left( {km} \right) = 20{\rm{ 000 }}\left( m \right)\).

Xét phương trình mặt cầu tâm \(O\): \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 400\) \(\left( S \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng \(DE:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 20 - 20t}\\{y = 16t}\\{z = 9 + 3t}\end{array}} \right.\)

Tìm giao điểm của mặt cầu \(\left( S \right)\)và đường thẳng \(DE\):

\({(20 - 20t)^2} + {(16t)^2} + {(9 + 3t)^2} = 400\)

\( \Leftrightarrow 400 - 800t + 400{t^2} + 256{t^2} + 81 + 54t + 9{t^2} = 400\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t_1} = 1}\\{{t_2} = 0,12}\end{array}} \right.\).

Vậy: Đường thẳng \(DE\)cắt mặt cầu \((S)\) tại \(2\) điểm: \(M(0{\rm{ }};{\rm{ }}16{\rm{ }};{\rm{ }}12)\) và điểm

\(N(17,6{\rm{ }};{\rm{ }}1,92{\rm{ }};{\rm{ }}9,36)\)

Khoảng cách giữa hai điểm \(M\) và \(N\): \(MN = \sqrt {514,976}  \approx 22,693(km)\)

Hay: \(MN = 22693(m)\)

Làm tròn đến hàng trăm: \(MN = 22{\rm{ }}700(m)\). Chọn: SAI.

Đáp án: \(0,42\).

Quan sát hình vẽ, để đi từ điểm \(A\) đến điểm \(B\), robot luôn phải thực hiện 6 bước đi ngang và 4 bước đi xuống, tổng cộng 10 bước di chuyển.

Mỗi đường đi từ \(A\) đến \(B\) tương ứng với một cách sắp xếp vị trí cho 4 bước dọc trong tổng số 10 bước di chuyển.

Vậy tổng số đường đi có thể có từ \(A\) đến \(B\) là: \(n\left( \Omega  \right) = C_{10}^4 = 210\) đường đi.

Quan sát hình vẽ, ta thấy:

- Điểm \(M\) nằm ở vị trí cách \(A\) 2 bước ngang và 2 bước dọc.

- Điểm \(N\) nằm ở vị trí cách \(A\) 3 bước ngang và 3 bước dọc.

Gọi \(H\) là biến cố “Không đi qua cả \(M\) và \(N\)”. Khi đó \(\overline H \) là biến cố “Đi qua \(M\) hoặc \(N\)”.

TH1: Số đường đi qua \(M\)

Từ \(A\) đến \(M\) (cần 2 ngang, 2 dọc): Số cách đi là \(C_4^2 = 6\).

Từ \(M\) đến \(B\) (còn lại 4 ngang, 2 dọc): Số cách đi là \(C_6^2 = 15\).

Tổng số đường đi qua \(M\) là: \(6\,.\,15 = 90\) đường đi.

TH2: Số đường đi qua \(N\)

Từ \(A\) đến \(N\) (cần 3 ngang, 3 dọc): Số cách đi là \(C_6^3 = 20\).

Từ \(N\) đến \(B\) (còn lại 3 ngang, 1 dọc): Số cách đi là \(C_4^1 = 4\).

Tổng số đường đi qua \(N\) là: \(20\,.\,4 = 80\) đường đi.

TH3: Số đường đi qua cả \(M\) và \(N\)

Từ \(A\) đến \(M\): Có 6 cách.

Từ \(M\) đến \(N\) (cần 1 ngang, 1 dọc): Có \(C_2^1 = 2\) cách.

Từ \(N\) đến \(B\): Có 4 cách.

Tổng số đường đi qua cả \(M\) và \(N\) là: \(6\,.\,2\,.\,4 = 48\) đường đi.

Vậy, số đường đi qua \(M\) hoặc qua \(N\) là:

\(n\left( {M \cup N} \right) = n\left( M \right) + n\left( N \right) - n\left( {M \cap N} \right) = 90 + 80 - 48 = 122\) đường đi.

Số đường đi từ \(A\) đến \(B\) mà không đi qua cả \(M\) và \(N\) là: \(210 - 122 = 88\) đường đi.

Xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \frac{{88}}{{210}} \approx 0,42\).