Một nhóm nghiên cứu quan sát sự phát triển của một quần thể vi khuẩn trong môi trường nuôi cấy hạn chế.

Ÿ Giai đoạn 1 (từ \(t = 0\) đến \(t = 3\)giờ): Số lượng vi khuẩn tăng trưởng theo hàm mũ \(N(t) = 50{e^{0,8t}}\)

(với \(t\) tính bằng giờ, \(N\)tính bằng triệu cá thể).

Ÿ Giai đoạn 2 (sau 3 giờ): Do nguồn dinh dưỡng cạn kiệt, tốc độ tăng trưởng giảm dần. Từ thời điểm này, số lượng vi khuẩn tuân theo hàm số \(M(t) = A - B{e^{ - 0,6t}}\).

Đáp án: \(4,2\).

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Gọi \[A\left( { - a;0} \right);{\rm{ }}B\left( {0; - b} \right)\]; \[a,\,\,b > 0\]; \[M\left( { - 2; - 1} \right)\].

\( \Rightarrow \left( {AB} \right):\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{{ - b}} = 1\).

Ta có \(M \in AB \Rightarrow \frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1 \Rightarrow \frac{1}{b} = \frac{{a - 2}}{a} \Rightarrow b = \frac{a}{{a - 2}}\)\( \Rightarrow a \in \left( {2; + \infty } \right)\).

\(AB = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{{a - 2}}} \right)}^2}}  \Rightarrow A{B^2} = {a^2} + {\left( {\frac{a}{{a - 2}}} \right)^2} = f\left( a \right)\)

\(f'\left( a \right) = 2a\left[ {1 - \frac{2}{{{{\left( {a - 2} \right)}^3}}}} \right]\).

\(f'\left( a \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \sqrt[3]{2}\end{array} \right.\)

Dựa vào bảng biến thiên, giá trị lớn nhất của \(f\left( a \right)\) là \(A{B^2} = f\left( {2 + \sqrt[3]{2}} \right) \Rightarrow AB \approx 4,2\)

Độ dài dây đèn ngắn nhất bạn An cần dùng là \(4,2\) khi \(A{B^2} = f\left( {2 + \sqrt[3]{2}} \right) \Rightarrow AB \approx 4,2\).

Đáp án: 192.

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ

Gọi \(\left( C \right)\) là đường tròn tâm \(D\) bán kính \(AD = 2\,cm\) thì ta có phương trình cung \(ACB\) là \(y = \sqrt {4 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \).

Gọi \(\left( {C'} \right)\) là đường tròn tâm \(I\left( {1;0} \right)\), bán kính \(AI = 1\,cm\) thì ta có phương trình đường cong \(AMD\) là \(y = \sqrt {1 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}} \).

Đường thẳng \(\left( d \right)\) \(AMC\) có phương trình \(y = \frac{{\sqrt 3 }}{3}x\)

Ta có hoành độ giao điểm \(M\) là giao của \(\left( d \right)\) và đường tròn \(\left( {C'} \right)\) là nghiệm phương trình

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}x} \right)^2} = 1\)\( \Rightarrow x = \frac{3}{2}\).

Hoành độ điểm \(\left( C \right)\) là giao điểm cuar \(\left( d \right)\) và đường tròn \(\left( C \right)\) là

\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}x} \right)^2} = 4\)\( \Rightarrow x = 3\).

Thể tích khối tròn xoay cần tính là

\({V_1} = \pi \int\limits_{\frac{3}{2}}^2 {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}x} \right)}^2}dx - \pi \int\limits_{\frac{3}{2}}^2 {{{\left( {\sqrt {1 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}} } \right)}^2}dx = \frac{{11\pi }}{{36}}} } \)

\({V_2}\)\( = \pi \int\limits_2^3 {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}x} \right)}^2} = \frac{{19\pi }}{9}} \)

\({V_3} = \pi \int\limits_3^4 {\left( {4 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right) = \frac{{5\pi }}{3}} \)

Vậy tổng số tiền trả bằng: \(T = \left( {{V_1} + {V_2} + {V_3}} \right).15.000\)\( \approx 192\) nghìn VNĐ.