Có 6 bì thư được đánh số từ \[1\] đến \[6\] và \[6\] cái tem cũng được đánh số từ \[1\] đến \[6\]. Người ta dán các tem thư vào các bì thư (mỗi thư chỉ dán \[1\] tem). Hỏi có bao nhiêu cách dán tem thư sao cho có ít nhất một bì thư được dán tem có số trùng với số trên bì thư?

a) Tại thời điểm bắt đầu, tức là \(t = 0\), ta có: \(N(0) = 50{e^{0,8 \cdot 0}} = 50{e^0} = 50\) triệu cá thể

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Tốc độ tăng trưởng của quần thể ở giai đoạn 1 tại thời điểm \(t\) (từ \(t = 0\) đến \(t = 3\)giờ):

\(N'(t) = 50 \cdot 0,8{e^{0,8t}} = 40{e^{0,8t}}\) triệu cá thể/giờ.

Tại \(t = 3\): \(N'(3) = 40{e^{0,8 \cdot 3}} = 40{e^{2,4}}\)\( \approx \)\(440,928\) triệu cá thể/giờ.

Do đó: \(N'(3) > 440\) triệu cá thể/giờ.

Vậy khẳng định b) đúng.

c) \[M'(t) = 0,6B{e^{ - 0,6t}}\,\,\,;\,N'\left( t \right) = 40{e^{0,8t}}\]

\(N(3) = 50{e^{0,8.3}} = 50{e^{2,4}}\).

Do hàm số biểu diễn số lượng vi khuẩn và tốc độ tăng trưởng là các hàm số liên tục tại \(t = 3\) nên \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{t \to {3^ - }} \,N\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {3^ + }} \,M\left( t \right) = N\left( 3 \right)\\\mathop {\lim }\limits_{t \to {3^ - }} \,N'\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {3^ + }} \,M'\left( t \right) = N'\left( 3 \right)\end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}50{e^{2,4}} = A - B.{e^{ - 1,8}}\\40{e^{2,4}} = 0,6B{e^{ - 1,8}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 50{e^{2,4}} + \frac{{200}}{3}{e^{2,4}}\\B = \frac{{40{e^{4,2}}}}{{0,6}} = \frac{{200}}{3}{e^{4,2}}\end{array} \right.\]

Vậy khẳng định c) sai

d) Số lượng vi khuẩn tối đa (ngưỡng bão hòa) mà môi trường này có thể duy trì là

\[A = 50{e^{2,4}} + \frac{{200}}{3}{e^{2,4}} = \frac{{350}}{3}{e^{2,4}} \approx 1286\]

Vậy khẳng định d) sai.

Đáp án: \(4,2\).

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Gọi \[A\left( { - a;0} \right);{\rm{ }}B\left( {0; - b} \right)\]; \[a,\,\,b > 0\]; \[M\left( { - 2; - 1} \right)\].

\( \Rightarrow \left( {AB} \right):\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{{ - b}} = 1\).

Ta có \(M \in AB \Rightarrow \frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1 \Rightarrow \frac{1}{b} = \frac{{a - 2}}{a} \Rightarrow b = \frac{a}{{a - 2}}\)\( \Rightarrow a \in \left( {2; + \infty } \right)\).

\(AB = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{{a - 2}}} \right)}^2}}  \Rightarrow A{B^2} = {a^2} + {\left( {\frac{a}{{a - 2}}} \right)^2} = f\left( a \right)\)

\(f'\left( a \right) = 2a\left[ {1 - \frac{2}{{{{\left( {a - 2} \right)}^3}}}} \right]\).

\(f'\left( a \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \sqrt[3]{2}\end{array} \right.\)

Dựa vào bảng biến thiên, giá trị lớn nhất của \(f\left( a \right)\) là \(A{B^2} = f\left( {2 + \sqrt[3]{2}} \right) \Rightarrow AB \approx 4,2\)

Độ dài dây đèn ngắn nhất bạn An cần dùng là \(4,2\) khi \(A{B^2} = f\left( {2 + \sqrt[3]{2}} \right) \Rightarrow AB \approx 4,2\).