Nhân dịp Noel, gia đình bạn An cùng nhau trang trí nhà cửa. Tại góc phòng khách, bạn An dự kiến để một cây thông Noel ở vị trí \(M\) cách hai bức tường lần lượt là 1m; 2m. Để cho căn phòng sáng hơn, bạn An sẽ lắp thêm dây đèn led \(AB\) dưới sàn nhà, đi qua vị trí đặt cây thông, hai đầu dây đèn chạm vào tường. Hỏi độ dài dây đèn ngắn nhất bạn An cần dùng là bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Đáp án: 192.

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ

Gọi \(\left( C \right)\) là đường tròn tâm \(D\) bán kính \(AD = 2\,cm\) thì ta có phương trình cung \(ACB\) là \(y = \sqrt {4 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \).

Gọi \(\left( {C'} \right)\) là đường tròn tâm \(I\left( {1;0} \right)\), bán kính \(AI = 1\,cm\) thì ta có phương trình đường cong \(AMD\) là \(y = \sqrt {1 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}} \).

Đường thẳng \(\left( d \right)\) \(AMC\) có phương trình \(y = \frac{{\sqrt 3 }}{3}x\)

Ta có hoành độ giao điểm \(M\) là giao của \(\left( d \right)\) và đường tròn \(\left( {C'} \right)\) là nghiệm phương trình

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}x} \right)^2} = 1\)\( \Rightarrow x = \frac{3}{2}\).

Hoành độ điểm \(\left( C \right)\) là giao điểm cuar \(\left( d \right)\) và đường tròn \(\left( C \right)\) là

\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}x} \right)^2} = 4\)\( \Rightarrow x = 3\).

Thể tích khối tròn xoay cần tính là

\({V_1} = \pi \int\limits_{\frac{3}{2}}^2 {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}x} \right)}^2}dx - \pi \int\limits_{\frac{3}{2}}^2 {{{\left( {\sqrt {1 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}} } \right)}^2}dx = \frac{{11\pi }}{{36}}} } \)

\({V_2}\)\( = \pi \int\limits_2^3 {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}x} \right)}^2} = \frac{{19\pi }}{9}} \)

\({V_3} = \pi \int\limits_3^4 {\left( {4 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right) = \frac{{5\pi }}{3}} \)

Vậy tổng số tiền trả bằng: \(T = \left( {{V_1} + {V_2} + {V_3}} \right).15.000\)\( \approx 192\) nghìn VNĐ.

a) Tại thời điểm bắt đầu, tức là \(t = 0\), ta có: \(N(0) = 50{e^{0,8 \cdot 0}} = 50{e^0} = 50\) triệu cá thể

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Tốc độ tăng trưởng của quần thể ở giai đoạn 1 tại thời điểm \(t\) (từ \(t = 0\) đến \(t = 3\)giờ):

\(N'(t) = 50 \cdot 0,8{e^{0,8t}} = 40{e^{0,8t}}\) triệu cá thể/giờ.

Tại \(t = 3\): \(N'(3) = 40{e^{0,8 \cdot 3}} = 40{e^{2,4}}\)\( \approx \)\(440,928\) triệu cá thể/giờ.

Do đó: \(N'(3) > 440\) triệu cá thể/giờ.

Vậy khẳng định b) đúng.

c) \[M'(t) = 0,6B{e^{ - 0,6t}}\,\,\,;\,N'\left( t \right) = 40{e^{0,8t}}\]

\(N(3) = 50{e^{0,8.3}} = 50{e^{2,4}}\).

Do hàm số biểu diễn số lượng vi khuẩn và tốc độ tăng trưởng là các hàm số liên tục tại \(t = 3\) nên \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{t \to {3^ - }} \,N\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {3^ + }} \,M\left( t \right) = N\left( 3 \right)\\\mathop {\lim }\limits_{t \to {3^ - }} \,N'\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {3^ + }} \,M'\left( t \right) = N'\left( 3 \right)\end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}50{e^{2,4}} = A - B.{e^{ - 1,8}}\\40{e^{2,4}} = 0,6B{e^{ - 1,8}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 50{e^{2,4}} + \frac{{200}}{3}{e^{2,4}}\\B = \frac{{40{e^{4,2}}}}{{0,6}} = \frac{{200}}{3}{e^{4,2}}\end{array} \right.\]

Vậy khẳng định c) sai

d) Số lượng vi khuẩn tối đa (ngưỡng bão hòa) mà môi trường này có thể duy trì là

\[A = 50{e^{2,4}} + \frac{{200}}{3}{e^{2,4}} = \frac{{350}}{3}{e^{2,4}} \approx 1286\]

Vậy khẳng định d) sai.