PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho hình chóp \(S,ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(6\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trung điểm của đoạn thẳng \(AB\). Biết góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\) bằng \(60^\circ \)_. Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABC\) (không làm tròn các phép tính trung gian, kết quả cuối cùng làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án: 6864.

Gọi ô ở trung tâm là \(y\) với điều kiện như sau:

- Phải có ít nhất 2 cặp số \((a,c)\)sao cho \(ac = {y^2}\).

- Các số \(a,c,y\) phân biệt, thuộc tập \(S = \{ 1, \ldots ,18\} \)

Các giá trị y thỏa mãn :

\[y = 4 \Rightarrow {y^2} = 16\].

Có 2 cặp số thỏa mãn\[\left\{ {1,{\rm{ }}16} \right\},{\rm{ }}\left\{ {2,{\rm{ }}8} \right\}\] . Số cách xếp: \[C_2^2 \times 2! \times {2^2} = 8\].

\[y = 6 \Rightarrow {y^2} = 36\].

Có 3 cặp số thỏa mãn \[\left\{ {2,{\rm{ }}18} \right\},{\rm{ }}\left\{ {3,{\rm{ }}12} \right\},{\rm{ }}\left\{ {4,{\rm{ }}9} \right\}.\]Số cách xếp: \[C_3^2 \times 2! \times {2^2} = 24\].

\[y = 12 \Rightarrow {y^2} = 144\].

Có 2 cặp số thỏa mãn \[\left\{ {8,{\rm{ }}18} \right\},{\rm{ }}\left\{ {9,{\rm{ }}16} \right\}\]. Số cách xếp: \[C_2^2 \times 2! \times {2^2} = 8\].

Suy ra tổng số cách xếp 2 đường chéo: \[8 + 24 + 8 = 40\]

Xếp \[13\] số vào \[4\] ô còn lại: \[A_{13}^4 = 17160\].

Vậy có tất cả \[40 \times 17160 = 686.400\] cách xếp thỏa yêu cầu .

\[ \Rightarrow \frac{T}{{100}} = 6864\].

Đáp án: 3679.

Ta xét hình trên trong hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ

+) Xét parabol \((P):\,y = a{x^2} + b\) đia qua điểm \(P(0;5);\,\,A(18;9)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5\\{18^2}a + c = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5\\a = \frac{1}{{81}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow (P):\,\,y = \frac{{{x^2}}}{{81}} + 5\)

+) Đường thẳng \(AM:\,y = mx + n\) đi qua các điểm \(A(18;9);\,\,M(12;0)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}12m + n = 0\\18m + n = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\\n =  - 18\end{array} \right.\)\( \Rightarrow y = \frac{{3x}}{2} - 18\).

Thể tích khối tròn xoay cần tính là

\(V = 2\left[ {\pi \int\limits_0^{18} {{{\left( {\frac{{{x^2}}}{{81}} + 5} \right)}^2}dx + \pi \int\limits_{12}^{18} {{{\left( {\frac{{3x}}{2} - 18} \right)}^2}dx} } } \right]\)\( = \frac{{5856}}{5}\pi  \approx 3679\,\,\left( {c{m^3}} \right)\).