Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá \(200\) đơn vị sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm (\(1 \le x \le 200\)) thì giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là \(f(x) = 435 - 2x\) (triệu đồng) và chi phí sản xuất bình quân cho một đơn vị sản phẩm là \(g(x) = \frac{{0,7{x^2}}}{{125}} - 1,706x + 96,5 + \frac{{6375}}{x}\) (triệu đồng). Biết rằng mức thuế cho một đơn vị sản phẩm này là \(2,5\) triệu đồng. Hỏi doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu đơn vị sản phẩm để lợi nhuận thu được lớn nhất?

Trả lời: 125.

Gọi \(x\) là số đơn vị sản phẩm được sản xuất (\(1 \le x \le 200\)).

Giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là \(f(x) = 435 - 2x\) (triệu đồng).

Tổng doanh thu khi sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm là: \(R(x) = x \cdot f(x) = 435x - 2{x^2}\)(triệu đồng).
Chi phí sản xuất bình quân cho một đơn vị sản phẩm là

\(g(x) = \frac{{0,7{x^2}}}{{125}} - 1,706x + 96,5 + \frac{{6375}}{x}\) (triệu đồng).

Tổng chi phí sản xuất khi sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm là:

\({C_P}(x) = x \cdot g(x) = \frac{{0,7{x^3}}}{{125}} - 1,706{x^2} + 96,5x + 6375\) (triệu đồng).

Mức thuế cho một đơn vị sản phẩm là \(2,5\) triệu đồng.

Tổng tiền thuế khi sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm là: \({C_T}(x) = 2,5x\) (triệu đồng).

Tổng chi phí (bao gồm chi phí sản xuất và thuế) khi sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm là:

\(C(x) = {C_P}(x) + {C_T}(x)\)\( = \frac{{0,7{x^3}}}{{125}} - 1,706{x^2} + 99x + 6375\) (triệu đồng).

Hàm lợi nhuận \(P(x)\) là hiệu giữa tổng doanh thu và tổng chi phí: \(P(x) = R(x) - C(x)\)

\( \Rightarrow P(x) =  - 0,0056{x^3} - 0,294{x^2} + 336x - 6375\).
Để tìm lợi nhuận lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm \(P(x)\) trên đoạn \([1;200]\).

\(P'(x) =  - 0,0168{x^2} - 0,588x + 336\).
Cho \(P'(x) = 0\)\( \Rightarrow  - 0,0168{x^2} - 0,588x + 336 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} \approx  - 160\\{x_2} \approx 125\end{array} \right.\). Vì \(x \ge 1\) nên \({x_2} \approx 125\) thỏa mãn.

Giá trị \(x = 125\) nằm trong đoạn \([1;200]\).

Tính giá trị của \(P(x)\) tại các điểm \(x = 1\), \(x = 125\), \(x = 200\):

\(P(1) =  - 0,0056{(1)^3} - 0,294{(1)^2} + 336(1) - 6375 \approx  - 6039,2996\).
\(P(125) =  - 0,0056{(125)^3} - 0,294{(125)^2} + 336(125) - 6375\)\( \approx 20093,75\).
\(P(200) =  - 0,0056{(200)^3} - 0,294{(200)^2} + 336(200) - 6375\)\( \approx 4265\).
So sánh các giá trị \(P(1)\), \(P(125)\), \(P(200)\), ta thấy giá trị lớn nhất là \(P(125) = 20093,75\).

Vậy, để lợi nhuận thu được lớn nhất, doanh nghiệp cần sản xuất \(125\) đơn vị sản phẩm.