Cho tập hợp \(S = \{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18\} \)gồm \[18\] số tự nhiên. Chọn ngẫu nhiên \[9\] số tự nhiên từ tập \(S\)và điền vào \[9\] ô vuông của một bảng \(3 \times 3\)như hình vẽ bên dưới. Gọi \(T\)là số cách điền thỏa mãn các số trên mỗi đường chéo (theo thứ tự từ góc này sang góc đối diện) lập thành một cấp số nhân. Tính giá trị của biểu thức: \(\frac{T}{{100}}\).

Đáp án: 85.

Ta có \[n\left( \Omega  \right) = {2^{14}}\]

TH1: 3 ô đỏ cùng 1 hàng.

Xét hàng 1:

Tô 4 ô đen. Khi đó giữa 4 ô đen có 5 khoảng trống. Ta chọn 3 khoảng trong 5 khoảng để tô 3 ô đỏ, có \[C_5^3\]cách.

Tương tự với hàng 2.

Vậy ta có \[2.C_5^3\] cách.

TH2: 3 ô đỏ ở 2 hàng, chẳng hạn:

Xét hàng 1: Tô 5 ô đen. Khi đó giữa 5 ô đen có 6 khoảng trống. Ta chọn 2 khoảng trong 6 khoảng để tô 2 ô đỏ, có \[C_6^2\]cách.

Xét hàng 2: các ô đối diện với 2 ô đỏ ở hàng 1 chỉ có thể tô đen. Vậy còn 5 chỗ trống để tô ô đỏ còn lại.

Vậy ta có \[5.C_6^2\] cách.

Hoán vị hàng 1 và hàng 2, ta có tất cả số cách tô màu ở TH2 là: \[2.5.C_6^2\] cách.

Vậy xác suất \[P = \frac{{2.C_5^3 + 2.C_5^3}}{{{2^{14}}}} = \frac{{85}}{{8192}} \Rightarrow 8192P = 85\].

Đáp án: \[46\].                                                         

Đây là bài toán lãi kép có rút.

Số tiền gửi ban đầu là \[A = 1000\] triệu đồng, \[a = 0,6\% \] là lãi suất mỗi tháng, \[m = 25\] triệu là số tiền rút mỗi tháng. Tổng số tiền còn lại sau n tháng là \[{S_n} = A{\left( {1 + a} \right)^n} - m.\frac{{{{\left( {1 + a} \right)}^n} - 1}}{a}\]

\[{S_n} = 1000.{\left( {1,006} \right)^n} - 25.\frac{{{{\left( {1,006} \right)}^n} - 1}}{{0,006}} =  - \frac{{9500}}{3}.{\left( {1,006} \right)^n} + \frac{{12500}}{3}\].

Để anh Bình rút hết số tiền trong ngân hàng thì

\[{S_n} \le 0 \Leftrightarrow  - \frac{{9500}}{3}.{\left( {1,006} \right)^n} + \frac{{12500}}{3} \le 0 \Leftrightarrow n \ge {\log _{1,006}}\frac{{25}}{{19}} \approx 45,88\].

Vậy sau \[46\] tháng anh Bình rút hết tiền trong ngân hàng.