Cho tập hợp \(S = \{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18\} \)gồm \[18\] số tự nhiên. Chọn ngẫu nhiên \[9\] số tự nhiên từ tập \(S\)và điền vào \[9\] ô vuông của một bảng \(3 \times 3\)như hình vẽ bên dưới. Gọi \(T\)là số cách điền thỏa mãn các số trên mỗi đường chéo (theo thứ tự từ góc này sang góc đối diện) lập thành một cấp số nhân. Tính giá trị của biểu thức: \(\frac{T}{{100}}\).

Đáp án: 3679.

Ta xét hình trên trong hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ

+) Xét parabol \((P):\,y = a{x^2} + b\) đia qua điểm \(P(0;5);\,\,A(18;9)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5\\{18^2}a + c = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5\\a = \frac{1}{{81}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow (P):\,\,y = \frac{{{x^2}}}{{81}} + 5\)

+) Đường thẳng \(AM:\,y = mx + n\) đi qua các điểm \(A(18;9);\,\,M(12;0)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}12m + n = 0\\18m + n = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\\n =  - 18\end{array} \right.\)\( \Rightarrow y = \frac{{3x}}{2} - 18\).

Thể tích khối tròn xoay cần tính là

\(V = 2\left[ {\pi \int\limits_0^{18} {{{\left( {\frac{{{x^2}}}{{81}} + 5} \right)}^2}dx + \pi \int\limits_{12}^{18} {{{\left( {\frac{{3x}}{2} - 18} \right)}^2}dx} } } \right]\)\( = \frac{{5856}}{5}\pi  \approx 3679\,\,\left( {c{m^3}} \right)\).

Trả lời: 125.

Gọi \(x\) là số đơn vị sản phẩm được sản xuất (\(1 \le x \le 200\)).

Giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là \(f(x) = 435 - 2x\) (triệu đồng).

Tổng doanh thu khi sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm là: \(R(x) = x \cdot f(x) = 435x - 2{x^2}\)(triệu đồng).
Chi phí sản xuất bình quân cho một đơn vị sản phẩm là

\(g(x) = \frac{{0,7{x^2}}}{{125}} - 1,706x + 96,5 + \frac{{6375}}{x}\) (triệu đồng).

Tổng chi phí sản xuất khi sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm là:

\({C_P}(x) = x \cdot g(x) = \frac{{0,7{x^3}}}{{125}} - 1,706{x^2} + 96,5x + 6375\) (triệu đồng).

Mức thuế cho một đơn vị sản phẩm là \(2,5\) triệu đồng.

Tổng tiền thuế khi sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm là: \({C_T}(x) = 2,5x\) (triệu đồng).

Tổng chi phí (bao gồm chi phí sản xuất và thuế) khi sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm là:

\(C(x) = {C_P}(x) + {C_T}(x)\)\( = \frac{{0,7{x^3}}}{{125}} - 1,706{x^2} + 99x + 6375\) (triệu đồng).

Hàm lợi nhuận \(P(x)\) là hiệu giữa tổng doanh thu và tổng chi phí: \(P(x) = R(x) - C(x)\)

\( \Rightarrow P(x) =  - 0,0056{x^3} - 0,294{x^2} + 336x - 6375\).
Để tìm lợi nhuận lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm \(P(x)\) trên đoạn \([1;200]\).

\(P'(x) =  - 0,0168{x^2} - 0,588x + 336\).
Cho \(P'(x) = 0\)\( \Rightarrow  - 0,0168{x^2} - 0,588x + 336 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} \approx  - 160\\{x_2} \approx 125\end{array} \right.\). Vì \(x \ge 1\) nên \({x_2} \approx 125\) thỏa mãn.

Giá trị \(x = 125\) nằm trong đoạn \([1;200]\).

Tính giá trị của \(P(x)\) tại các điểm \(x = 1\), \(x = 125\), \(x = 200\):

\(P(1) =  - 0,0056{(1)^3} - 0,294{(1)^2} + 336(1) - 6375 \approx  - 6039,2996\).
\(P(125) =  - 0,0056{(125)^3} - 0,294{(125)^2} + 336(125) - 6375\)\( \approx 20093,75\).
\(P(200) =  - 0,0056{(200)^3} - 0,294{(200)^2} + 336(200) - 6375\)\( \approx 4265\).
So sánh các giá trị \(P(1)\), \(P(125)\), \(P(200)\), ta thấy giá trị lớn nhất là \(P(125) = 20093,75\).

Vậy, để lợi nhuận thu được lớn nhất, doanh nghiệp cần sản xuất \(125\) đơn vị sản phẩm.