Trong không gian \(Oxyz\), cho 3 điểm \(A\left( {a;0;0} \right)\), \(B\left( {0;b;0} \right)\), \(C\left( {0;0;c} \right)\) với \(a,\,\,b,\,\,c > 0\).

a) ĐÚNG

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(M\left( {8; - 12;4} \right)\) sao cho độ dài \(OA,OB,OC\)theo thứ tự tạo thành cấp số cộng có công sai bằng \(1\). Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) tới mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(1,54\) (kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần trăm).

Vì mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) cắt \[Ox,Oy,Oz\] lần lượt tại \(A\left( {a;0;0} \right)\), \(B\left( {0;b;0} \right)\), \(C\left( {0;0;c} \right)\)nên

mặt phẳng có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)

Độ dài \(OA,OB,OC\)theo thứ tự tạo thành cấp số cộng có công sai bằng \(1\) nên \(b = a + 1;{\rm{ c  =  a + 2}}\)

nên \(\frac{x}{a} + \frac{y}{{a + 1}} + \frac{z}{{a + 2}} = 1\).

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(M\left( {8; - 12;4} \right)\), ta có: \(\frac{8}{a} - \frac{{12}}{{a + 1}} + \frac{4}{{a + 2}} = 1(1)\).

Giải phương trình (1) ta được: \(a = 2 \Rightarrow {\rm{ }}b = 3;{\rm{ c  =  4}}{\rm{.}}\)

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow 6x + 4y + 3z - 12 = 0\).

Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) tới mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là:

\({\rm{d}}\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 12} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {4^2} + {3^2}} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {61} }} \approx 1,54\).

b) ĐÚNG

Véc tơ \(\overrightarrow n \left( {1;1;1} \right)\)là một pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(H\left( {1;1;1} \right)\) sao cho \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC\).

Vì \(H\left( {1;1;1} \right)\) là trực tâm \(\Delta ABC\) ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{H \in \left( {ABC} \right)}\\{\overrightarrow {HA} .\overrightarrow {BC}  = 0}\\{\overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AC}  = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1}\\{ - b + c = 0}\\{a - c = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b = 3}\\{c = 3}\end{array}} \right.\).

Phương trình \(\left( {ABC} \right)\)là: \(x + y + z - 3 = 0\).

Vậy véc tơ \(\overrightarrow n \left( {1;1;1} \right)\)là một pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

c)SAI

Mặt phẳng có phương trình là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} =  - 1\).

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ta có phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\): \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).

d) ĐÚNG

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(G\left( {2;1;4} \right)\) sao cho \(G\) là trọng tâm của tam giác \(\left( {ABC} \right)\) là: \(2x + 4y + z - 12 = 0\).

Vì \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{3} = 2}\\{\frac{b}{3} = 1}\\{\frac{c}{3} = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 6}\\{b = 3}\\{c = 12}\end{array}} \right.\).

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình \(\frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{{12}} = 1 \Leftrightarrow 2x + 4y + z - 12 = 0\).