Một người chuyển động trên một quãng đường thẳng, mối quan hệ giữa vận tốc và thời gian được minh họa như hình vẽ. Đường cong trong hình vẽ là một phần của parabol.

Đáp án: \[280\].                                                         

Chọn hệ trục toạ độ \[{\rm{Ox}}yz\] như hình vẽ

\[ABCD\] là hình thoi nên \[GO \bot AC\] mà \[GS \bot AC \Rightarrow SO \bot AC\].

\[\left[ {S,AC,G} \right] = \widehat {SOG} = {60^0}\], \[GO = \frac{1}{3}BO = \frac{1}{3}.\frac{{6\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 ,SG = GO.\tan {60^0} = 3,OD = 3\sqrt 3 \].

Khi đó \[S\left( {\sqrt 3 ;0;3} \right),D\left( { - 3\sqrt 3 ;0;0} \right),A\left( {0; - 3;0} \right),C\left( {0;3;0} \right)\].

\[\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {18;0; - 24\sqrt 3 } \right),\overrightarrow {AD} \left( { - 3\sqrt 3 ;3;0} \right),\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  =  - 54\sqrt 3 \]

\[\left| {\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = 6\sqrt {57} ,d\left( {SD,AC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}} = \frac{{54\sqrt 3 }}{{6\sqrt {57} }} = \frac{9}{{\sqrt {19} }}\]

Suy ra \[a = 19,b = 9,{a^2} - {b^2} = 280.\]

Đáp số: 14,5

Vẽ đồ thị các hàm vận tốc (theo thời gian) của các chất điểm trên cùng một hệ trục tọa độ \(tOv\) ta được đồ thị vận tốc của chất điểm \(D\) theo thời gian như sau:

Quãng đường chất điểm \(D\) đi được trong 5 giây đầu tiên là:

\(S = \int_0^5 {{v_D}} (t)dt = \int_0^2 2 t{\mkern 1mu} dt + \int_2^3 {(t + 2)} {\mkern 1mu} dt + \int_3^5 {(11 - 2t)} {\mkern 1mu} dt = 14,5\)(mét).