Hai bạn An và Bình cùng chơi trò chơi đánh cờ carô trên một bảng ô vuông kích thước 3x3 (gồm 9 ô trống). Luật chơi quy định An đi trước, mỗi lượt điền một dấu “X” vào một ô trống và Bình đi sau, mỗi lượt điền một dấu “O” vào một ô trống. Trò chơi kết thúc và xác định được người chiến thắng nếu người đó tạo được 3 dấu của mình nằm liên tiếp nhau trên cùng một hàng ngang, hàng dọc hoặc đường chéo. Hỏi có tất cả bao nhiêu trình tự các nước đi để ván cờ kết thúc chính xác ở nước đi thứ 5 với An là người giành chiến thắng?

Dựa vào đồ thị hàm vận tốc, ta có thể suy ra hàm số \[v\left( t \right)\] như sau:

\[v\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4t,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \le t \le 5}\\{ - \frac{8}{{225}}{t^2} + \frac{8}{9}t + \frac{{148}}{9},\,\,\,\,5 \le t \le 20}\\{ - 4t + 100,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,20 \le t \le 25}\end{array}} \right.\].

Do đó:

a) Trong 5 giây đầu tiên, người đó chuyển động nhanh dần đều với gia tốc \[a = 4\,m/{s^2}\].

Nên mệnh đề a Sai

b) Quãng đường đi được trong 5 giây đầu tiên là \[S = \int\limits_0^5 {4tdt = 50m} \].

Nên mệnh đề b Sai

c) Quãng đường vật đi được trong \[20\] giây đầu tiên là

\[{S_2} = \int\limits_0^5 {4tdt}  + \int\limits_5^{20} {\left( { - \frac{8}{{225}}{t^2} + \frac{8}{9}t + \frac{{148}}{9}} \right)dt}  = 370m\].

Nên mệnh đề c đúng

d) Quãng đường vật đi được trong cả hành trình là

\[{S_3} = \int\limits_0^5 {4tdt}  + \int\limits_5^{20} {\left( { - \frac{8}{{225}}{t^2} + \frac{8}{9}t + \frac{{148}}{9}} \right)dt}  + \int\limits_{20}^{25} {\left( { - 4t + 20} \right)} dt = 420m\].

Do đó vận tốc trung bình của người đó trên cả hành trình là \[{v_{tb}} = \frac{{420}}{{25}} = 16,8m/s\].

Nên mệnh đề d đúng

Đáp án: \[280\].                                                         

Chọn hệ trục toạ độ \[{\rm{Ox}}yz\] như hình vẽ

\[ABCD\] là hình thoi nên \[GO \bot AC\] mà \[GS \bot AC \Rightarrow SO \bot AC\].

\[\left[ {S,AC,G} \right] = \widehat {SOG} = {60^0}\], \[GO = \frac{1}{3}BO = \frac{1}{3}.\frac{{6\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 ,SG = GO.\tan {60^0} = 3,OD = 3\sqrt 3 \].

Khi đó \[S\left( {\sqrt 3 ;0;3} \right),D\left( { - 3\sqrt 3 ;0;0} \right),A\left( {0; - 3;0} \right),C\left( {0;3;0} \right)\].

\[\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {18;0; - 24\sqrt 3 } \right),\overrightarrow {AD} \left( { - 3\sqrt 3 ;3;0} \right),\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  =  - 54\sqrt 3 \]

\[\left| {\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = 6\sqrt {57} ,d\left( {SD,AC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}} = \frac{{54\sqrt 3 }}{{6\sqrt {57} }} = \frac{9}{{\sqrt {19} }}\]

Suy ra \[a = 19,b = 9,{a^2} - {b^2} = 280.\]