Một khối bê tông có chiều cao 2 mét được đặt trên mặt đất. Nếu cắt khối bê tông bởi một mặt phẳng nằm ngang và cách mặt đất \(x\) mét (\(0 \le x \le 2\)) thì được mặt cắt là một hình chữ nhật có chiều dài 5 mét và chiều rộng bằng \({(0,5)^x}\) mét (xem hình dưới). Thể tích của khối bê tông đó bằng bao nhiêu mét khối (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Dựa vào đồ thị hàm vận tốc, ta có thể suy ra hàm số \[v\left( t \right)\] như sau:

\[v\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4t,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \le t \le 5}\\{ - \frac{8}{{225}}{t^2} + \frac{8}{9}t + \frac{{148}}{9},\,\,\,\,5 \le t \le 20}\\{ - 4t + 100,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,20 \le t \le 25}\end{array}} \right.\].

Do đó:

a) Trong 5 giây đầu tiên, người đó chuyển động nhanh dần đều với gia tốc \[a = 4\,m/{s^2}\].

Nên mệnh đề a Sai

b) Quãng đường đi được trong 5 giây đầu tiên là \[S = \int\limits_0^5 {4tdt = 50m} \].

Nên mệnh đề b Sai

c) Quãng đường vật đi được trong \[20\] giây đầu tiên là

\[{S_2} = \int\limits_0^5 {4tdt}  + \int\limits_5^{20} {\left( { - \frac{8}{{225}}{t^2} + \frac{8}{9}t + \frac{{148}}{9}} \right)dt}  = 370m\].

Nên mệnh đề c đúng

d) Quãng đường vật đi được trong cả hành trình là

\[{S_3} = \int\limits_0^5 {4tdt}  + \int\limits_5^{20} {\left( { - \frac{8}{{225}}{t^2} + \frac{8}{9}t + \frac{{148}}{9}} \right)dt}  + \int\limits_{20}^{25} {\left( { - 4t + 20} \right)} dt = 420m\].

Do đó vận tốc trung bình của người đó trên cả hành trình là \[{v_{tb}} = \frac{{420}}{{25}} = 16,8m/s\].

Nên mệnh đề d đúng

Đáp án: \[280\].                                                         

Chọn hệ trục toạ độ \[{\rm{Ox}}yz\] như hình vẽ

\[ABCD\] là hình thoi nên \[GO \bot AC\] mà \[GS \bot AC \Rightarrow SO \bot AC\].

\[\left[ {S,AC,G} \right] = \widehat {SOG} = {60^0}\], \[GO = \frac{1}{3}BO = \frac{1}{3}.\frac{{6\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 ,SG = GO.\tan {60^0} = 3,OD = 3\sqrt 3 \].

Khi đó \[S\left( {\sqrt 3 ;0;3} \right),D\left( { - 3\sqrt 3 ;0;0} \right),A\left( {0; - 3;0} \right),C\left( {0;3;0} \right)\].

\[\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {18;0; - 24\sqrt 3 } \right),\overrightarrow {AD} \left( { - 3\sqrt 3 ;3;0} \right),\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  =  - 54\sqrt 3 \]

\[\left| {\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = 6\sqrt {57} ,d\left( {SD,AC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}} = \frac{{54\sqrt 3 }}{{6\sqrt {57} }} = \frac{9}{{\sqrt {19} }}\]

Suy ra \[a = 19,b = 9,{a^2} - {b^2} = 280.\]