PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Trong một trò chơi điện tử, có bốn chất điểm A, B, C, D đang di chuyển trên các đường thẳng song song như hình vẽ. Lập trình viên đã thiết lập vận tốc của các chất điểm A, B, C lần lượt là: \({v_A}(t) = t + 2\), \({v_B}(t) = 2t\), \({v_C}(t) = 11 - 2t\).

(Trong đó \(t\) tính bằng giây từ lúc bắt đầu chuyển động, \(v\) tính bằng m/s. Giả thiết rằng khi \(v < 0\) thì chất điểm di chuyển từ phải qua trái).

Biết vận tốc của chất điểm \(D\) tại một thời điểm bất kỳ được tính bằng vận tốc nhỏ nhất của ba chất điểm A, B, C. Hỏi quãng đường chất điểm \(D\) đi được trong 5 giây đầu tiên bằng bao nhiêu mét?

Dựa vào đồ thị hàm vận tốc, ta có thể suy ra hàm số \[v\left( t \right)\] như sau:

\[v\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4t,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \le t \le 5}\\{ - \frac{8}{{225}}{t^2} + \frac{8}{9}t + \frac{{148}}{9},\,\,\,\,5 \le t \le 20}\\{ - 4t + 100,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,20 \le t \le 25}\end{array}} \right.\].

Do đó:

a) Trong 5 giây đầu tiên, người đó chuyển động nhanh dần đều với gia tốc \[a = 4\,m/{s^2}\].

Nên mệnh đề a Sai

b) Quãng đường đi được trong 5 giây đầu tiên là \[S = \int\limits_0^5 {4tdt = 50m} \].

Nên mệnh đề b Sai

c) Quãng đường vật đi được trong \[20\] giây đầu tiên là

\[{S_2} = \int\limits_0^5 {4tdt}  + \int\limits_5^{20} {\left( { - \frac{8}{{225}}{t^2} + \frac{8}{9}t + \frac{{148}}{9}} \right)dt}  = 370m\].

Nên mệnh đề c đúng

d) Quãng đường vật đi được trong cả hành trình là

\[{S_3} = \int\limits_0^5 {4tdt}  + \int\limits_5^{20} {\left( { - \frac{8}{{225}}{t^2} + \frac{8}{9}t + \frac{{148}}{9}} \right)dt}  + \int\limits_{20}^{25} {\left( { - 4t + 20} \right)} dt = 420m\].

Do đó vận tốc trung bình của người đó trên cả hành trình là \[{v_{tb}} = \frac{{420}}{{25}} = 16,8m/s\].

Nên mệnh đề d đúng

Đáp án: \[280\].                                                         

Chọn hệ trục toạ độ \[{\rm{Ox}}yz\] như hình vẽ

\[ABCD\] là hình thoi nên \[GO \bot AC\] mà \[GS \bot AC \Rightarrow SO \bot AC\].

\[\left[ {S,AC,G} \right] = \widehat {SOG} = {60^0}\], \[GO = \frac{1}{3}BO = \frac{1}{3}.\frac{{6\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 ,SG = GO.\tan {60^0} = 3,OD = 3\sqrt 3 \].

Khi đó \[S\left( {\sqrt 3 ;0;3} \right),D\left( { - 3\sqrt 3 ;0;0} \right),A\left( {0; - 3;0} \right),C\left( {0;3;0} \right)\].

\[\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {18;0; - 24\sqrt 3 } \right),\overrightarrow {AD} \left( { - 3\sqrt 3 ;3;0} \right),\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  =  - 54\sqrt 3 \]

\[\left| {\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = 6\sqrt {57} ,d\left( {SD,AC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}} = \frac{{54\sqrt 3 }}{{6\sqrt {57} }} = \frac{9}{{\sqrt {19} }}\]

Suy ra \[a = 19,b = 9,{a^2} - {b^2} = 280.\]