Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \[A{\rm{ }}\left( {AB < AC} \right)\]. Gọi \[M\] là trung điểm \[BC\]. Vẽ \[MD\] vuông góc \[AB\] tại \[D\], \[ME\] vuông góc \[AC\] tại \[E\].

a) Chứng minh tứ giác \[ADME\] là hình chữ nhật.

b) Trên tia \[ME\] lấy điểm \[F\] sao cho \[E\] là trung điểm \[MF\]. Chứng minh tứ giác \[AMCF\] là hình thoi.

c) Gọi \[N\] là điểm đối xứng của \[D\] qua \[M\], kẻ \[DH\] vuông góc với \[BC\] tại \[H\]. Chứng minh \[AH\] vuông góc \[HN\].

a) Vì \(MD \bot AB\) tại \(D\) nên \[\widehat {ADM} = 90^\circ .\]

Vì \(ME \bot AC\) tại \(E\) nên \[\widehat {AEM} = 90^\circ .\]

Vì \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] nên \(\widehat {DAE} = 90^\circ .\)

Xét tứ giác \(ADME\) có \[\widehat {ADM} = \widehat {DAE} = \widehat {AEM} = 90^\circ \] nên là hình chữ nhật.

b) Vì \(ADME\) là hình chữ nhật nên \(\widehat {DME} = 90^\circ ,\) \(DM = AE\) và \(AM = DE\) (tính chất hình chữ nhật).

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \[A\] có \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC.\)

Mà \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(MB = MC = \frac{1}{2}BC,\) do đó \(AM = MB = MC = \frac{1}{2}BC.\)

Ta có \(AM = DE\) và \(AM = MC\) nên \(DE = MC.\)

Xét \(\Delta DME\) (vuông tại \(M)\) và \(\Delta CEM\) (vuông tại \(E)\) có:

\(ME\) là cạnh chung và \(ED = MC\) (chứng minh trên).

Do đó \(\Delta DME = \Delta CEM\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \(DM = CE\) (hai cạnh tương ứng).

Mà \(AE = DM\) nên \(AE = CE\) hay \(E\) là trung điểm của \(AC.\)

Xét tứ giác \(AMCF\) có \(E\) là trung điểm của \(MF\) và \(AC\) nên \(AMCF\) là hình bình hành.

Hình bình hành \(AMCF\) có \(AM = MC\) nên là hình thoi.

c) Ta có \(DM = MN\) (do \(N\) đối xứng với \(D\) qua \(M)\) nên \(DN = 2DM.\)

Vì \(E\) là trung điểm của \(AC\) nên \(AC = 2AE.\)

Mà \(DM = AE\) nên \(DN = AC.\)

Xét tứ giác \(ADNC\) có \(DN\,{\rm{//}}\,AC\) (cùng vuông góc với \(AB)\) và \(DN = AC\) nên \(ADNC\) là hình bình hành. Lại có \(\widehat {DAC} = 90^\circ \) nên \(ADNC\) là hình chữ nhật.

Do đó hai đường chéo \(AN\) và \(DC\) của hình chữ nhật này bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Gọi \(I\) là giao điểm của \(AN\) và \(CD.\) Khi đó \(I\) là trung điểm của \(AN\) và \(CD.\)

Xét \(\Delta DHC\) vuông tại \(H\) có \(HI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(DC\) nên \(IH = \frac{1}{2}DC.\)

Mà \(AN = DC\) nên \(IH = \frac{1}{2}AN.\)

Xét \(\Delta AHN\) có \(HI\) là đường trung tuyến và \(IH = \frac{1}{2}AN\) nên \(\Delta AHN\) vuông tại \(H\) hay \(AH \bot HN.\)