Câu hỏi:

06/04/2026 5

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \[AB = 9{\rm{\;cm}},\,\,\widehat {C\,} = 30^\circ \].

a) Giải tam giác \[ABC\].

b) Kẻ đường cao \[AH\] của tam giác \[ABC\] \(\left( {H \in BC} \right)\). Tính \[AH,\,\,CH\].

c) Kẻ \[AD\] là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\] \(\left( {D \in BC} \right)\). Tính \[AD\] (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], ta có:

⦁ \[\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ \]. Suy ra \[\widehat B = 90^\circ - \widehat {C\,} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ .\]

⦁ \[\sin C = \frac{{AB}}{{BC}}\] hay \[\sin 30^\circ = \frac{9}{{BC}},\] suy ra \[BC = 18{\rm{\;cm}}\].

⦁ \[A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\] (định lí Pythagore)

Suy ra \[A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {18^2} - {9^2} = 243,\] do đó \(AC = \sqrt {243} = 9\sqrt 3 {\rm{\;cm}}.\)

b) Xét \[\Delta ABH\] vuông tại \[H\], ta có:

\(AH = AB \cdot \sin B = 9 \cdot \sin 60^\circ = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \(H\), ta có:

\[CH = AC \cdot \cos C = 9\sqrt 3 \cdot \cos 30^\circ = 13,5{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

c) Xét \[\Delta ABC\] có \[AD\] là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\] nên ta có:

\[\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{AB}},\] hay \[\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{9\sqrt 3 }}{9} = \frac{{\sqrt 3 }}{1},\] suy ra \[DC = DB\sqrt 3 \].

Mà \[DC + DB = BC = 18\]

Suy ra \[DB\sqrt 3 + DB = 18\], hay \[DB\left( {\sqrt 3 + 1} \right) = 18\]

Do đó \[DB = \frac{{18}}{{\sqrt 3 + 1}} \approx 6,59{\rm{\;cm}}\] và \[DC = DB\sqrt 3 \approx 6,59 \cdot \sqrt 3 \approx 11,41\] (cm).

Lại có \(CH = CD + DH\) nên \(DH = CH - CD \approx 13,5 - 11,41 = 2,09{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Xét \[\Delta ADH\] vuông tại \[H\], theo định lí Pythagore, ta có:

\[A{D^2} = D{H^2} + A{H^2} \approx 2,{09^2} + {\left( {\frac{{9\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = 65,1181\]

Suy ra \[AD \approx \sqrt {65,1181} \approx 8,07{\rm{\;cm}}\].

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a + b + c = 3.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a}}.\)

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\]

\[ = {a^3} + a{b^2} + a{c^2} + {a^2}b + {b^3} + b{c^2} + {a^2}c + {b^2}c + {c^3}\]

\[ = \left( {{a^3} + a{b^2}} \right) + \left( {{b^3} + b{c^2}} \right) + \left( {{c^3} + c{a^2}} \right) + {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a\].

Mà \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) với mọi số thực dương \(a,\,\,b\) nên \[{a^2} + {b^2} \ge 2ab.\]

Suy ra \[{a^3} + a{b^2} \ge 2{a^2}b.\]

Tương tự, ta có: \[{b^3} + b{c^2} \ge 2{b^2}c;\] \[{c^3} + c{a^2} \ge 2{c^2}a.\]

Suy ra \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 3\left( {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a} \right) > 0\]

\[{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a > 0\].

Mặt khác, \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca\)

Hay \({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca = {3^2} = 9\)

\(2ab + 2bc + 2ca = 9 - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

Do đó \[P = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\]

\[ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{{9 - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}\]

\[ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} - \frac{1}{2}\].

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với mọi số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) ta có:

\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} = \frac{{{3^2}}}{3} = 3.\)

Do đó \[P = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} - \frac{1}{2}\]

\[ = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} + \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} + \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{1}{2}\]

\[ \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} \cdot \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\]

\[ = 2\sqrt {\frac{9}{4}} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 4.\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(4\) khi \(a = b = c = 1.\)

Câu 2

Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết tổng của hai chữ số đó bằng 10. Nếu thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số thì được số tự nhiên có ba chữ số, lấy số tự nhiên có ba chữ số này chia cho số cần tìm thì được thương là 7 và dư là 12.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng là: \(\overline {xy} \) \(\left( {1 \le x \le 9,\,\,0 \le y \le 9,\,\,x \in \mathbb{N},\,\,y \in \mathbb{N}} \right).\)

⦁ Tổng của hai chữ số đó là: \(x + y\).

Theo bài, tổng của hai chữ số đó bằng 10 nên ta có phương trình: \(x + y = 10\). (1)

Giá trị của số cần tìm là \(\overline {xy} = 10x + y\)

Khi thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số thì được số tự nhiên có ba chữ số là \(\overline {x0y} = 100x + y.\)

Theo bài, số tự nhiên có ba chữ số này chia cho số cần tìm thì được thương là 7 và dư là 12 nên ta có: \(\overline {x0y} = \overline {xy} \cdot 7 + 12\)

Suy ra \(100x + y = \left( {10x + y} \right) \cdot 7 + 12\)

\(100x + y = 70x + 7y + 12\)

\(30x - 6y = 12\)

\(5x - y = 2\). (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 10}\\{5x - y = 2}\end{array}} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: \(6x = 12,\) suy ra \[x = 2\] (thỏa mãn).

Thay \(x = 2\) vào phương trình (1), ta được \(2 + y = 10\), suy ra \(y = 8\) (thỏa mãn).

Vậy số cần tìm là: 28.

Câu 3