Cho \({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}}\) là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng \({\rm{a}} < \frac{{{\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}}}}{2}\).

a) \(C =  - {x^2} + 5x =  - \left( {{x^2} - 5x} \right)\) \( =  - \left( {{x^2} - 2 \cdot \frac{5}{2}x + \frac{{25}}{4} - \frac{{25}}{4}} \right)\)\( =  - \left[ {{{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)}^2} - \frac{{25}}{4}} \right] =  - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4} \le \frac{{25}}{4}\)

Do đó \(\max {\rm{C}} = \frac{{25}}{4}\) khi và chỉ khi \(x = \frac{5}{2}\).

b) \(D = (2 - 2x)(2x - 1) \le \frac{{{{[(2 - 2x) + (2x - 1)]}^2}}}{4}\)\( \Leftrightarrow {\rm{D}} \le \frac{1}{4}{\rm{. }}\)$

Do đó \(\max D = \frac{1}{4}\) khi và chỉ khi \(2 - 2x = 2x - 1 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}\).

a) ta có: \[\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} = \frac{5}{{20}}\]

Mà \[\frac{4}{5} = \frac{{16}}{{20}}\] nên \[\frac{5}{{20}} < \frac{{16}}{{20}}\]

Do đó: \[\frac{1}{4} < \frac{4}{5} < {a^2} + \frac{4}{5}\] với \[a \ne 0\]

Vậy \[\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} < {a^2} + \frac{4}{5}\] với \[a \ne 0\]

b) \[2m + 4 > 2n + 3\] với \[m > n\]

Ta có: \[m > n\]

Nhân \[2\] vào hai vế

Ta được \[2m > 2n\]

Cộng \[4\] vào hai vế

Ta được \[2m + 4 < 2n + 3\]