Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) \[{x^2} - 11\];                                        b) \[{x^2} - 2\sqrt 2 x + 2\];

c) \[x - 5\] (với \[x > 0\]);                                                                    d) \[5 - 7{x^2}\] (với \[x > 0\,).\]

e) \[3 + 4x\] (với \[x < 0\]).

a) \[\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}}  = 3 - x\]

Ta có biến đổi: \[\left| {x - 3} \right| = 3 - x\]

Ta có hai trường hợp:

TH 1: Nếu \[x \ge 3\] thì \[x - 3 = 3 - x \Leftrightarrow x = 3\left( {TM} \right)\]

TH 2: Nếu \[x < 3\] thì \[3 - x = 3 - x \Leftrightarrow 0 = 0\left( {TM} \right)\]

Vậy tất cả \[x \le 3\] đều thỏa mãn.

b). \[\sqrt {25 - 20x + 4{x^2}}  + 2x = 5\]

Ta có biến đổi: \[\sqrt {{{\left( {5 - 2x} \right)}^2}}  = 5 - 2x\] hay \[\left| {5 - 2x} \right| = 5 - 2x\]

Ta có hai trường hợp:

TH1: Nếu \[x \le \frac{5}{2}\] thì \[5 - 2x = 5 - 2x\] nên \[0 = 0\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)\]

TH2: Nếu \[x > \frac{5}{2}\] thì \[2x - 5 = 5 - 2x\] hay \[x = \frac{5}{2}\] (L)

Vậy tất cả \[x \le \frac{5}{2}\]đều thỏa mãn.

c) \[\sqrt {{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{{16}}}  = \frac{1}{4} - x\]

Ta có biến đổi: \[\sqrt {{{\left( {x - \frac{1}{4}} \right)}^2}}  = \frac{1}{4} - x\] hay \[\left| {x - \frac{1}{4}} \right| = \frac{1}{4} - x\]

Tương tự ta có: tất cả \[x \le \frac{1}{4}\]đều thỏa mãn.

d). \[\sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} }  = \sqrt {x - 1}  - 1\].

Điều kiện: \[x \ge 1\]

Ta có biến đổi: \[\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1}  - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {x - 1}  - 1 \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 1}  - 1} \right| = \sqrt {x - 1}  - 1\]

Ta có hai trường hợp:

Nếu \[\sqrt {x - 1}  \ge 1\] thì \[x \ge 2\] nên \[\sqrt {x - 1}  - 1 = \sqrt {x - 1}  - 1\] (TM)

Nếu: \[\sqrt {x - 1}  < 1\] thì \[x < 2\] nên \[1 - \sqrt {x - 1}  = \sqrt {x - 1}  - 1\] hay \[x = 2\] (TM)

Vậy: \[x \ge 2\] đều thỏa mãn.

e) \[\sqrt {1 - 12x + 36{x^2}}  = 5\]

Ta có biến đổi: \[\sqrt {{{\left( {1 - 6x} \right)}^2}}  = 5\] hay \[\left| {1 - 6x} \right| = 5\]

Ta có hai trường hợp:

Nếu: \[x \le \frac{1}{6}\] thì \[1 - 6x = 5\] hay \[x =  - \frac{2}{3}\] (TM)

Nếu: \[x > \frac{1}{6}\] thì \[6x - 1 = 5\] hay \[x = 1\] (TM)

Vậy: \[x =  - \frac{2}{3}\] và \[x = 1\] là giá trị cần tìm.

g). \[\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} }  = 2\]

Điều kiện: \[x \ge 1\]

Ta có biến đổi: \[\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1}  + 1} \right)}^2}}  = 2\] hay \[\left| {\sqrt {x - 1}  + 1} \right| = 2\]

Ta có hai trường hợp:

TH1: \[\sqrt {x - 1}  + 1 = 2\] hay \[\sqrt {x - 1}  = 1\] nên \[x - 1 = 1\], suy ra \[x = 2\]

TH2: \[\sqrt {x - 1}  + 1 =  - 2\] hay \[\sqrt {x - 1}  =  - 3\] (vô lý).

Vậy: \[x = 2\] là giá trị cần tìm.

a) \[2\sqrt {{x^2}}  = 2\left| x \right| =  - 2x.\]

b) \[\frac{1}{2}\sqrt {{x^{10}}}  = \frac{1}{2}\sqrt {{x^{5.2}}}  = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {{x^5}} \right)}^2}}  = \frac{1}{2}\left| {{x^5}} \right| =  - \frac{1}{2}{x^5}.\]

c) Ta có:

• \[a \le 5 \Rightarrow a - 5 \le 0\]     • \[\sqrt {{{\left( {a - 5} \right)}^2}}  = \left| {a - 5} \right| = 5 - a\]

d) Ta có:

• \[x \le 10 \Rightarrow x - 10 \le 0 \Rightarrow {\left( {x - 10} \right)^5} \le 0 \Rightarrow {\left( {10 - x} \right)^5} \ge 0.\]

• \[\sqrt {{{\left( {x - 10} \right)}^{10}}}  = \sqrt {{{\left[ {{{\left( {x - 10} \right)}^5}} \right]}^2}}  = \left| {{{\left( {x - 10} \right)}^5}} \right| = \left| {{{\left( {10 - x} \right)}^5}} \right| = {\left( {10 - x} \right)^5}.\]

e) Ta có:

• \[x < 4 \Rightarrow x - 4 < 0\]

• \[x - 4 + \sqrt {{x^2} - 8x + 16}  = x - 4 + \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}}  = x - 4 + \left| {x - 4} \right| = x - 4 - \left( {x - 4} \right) = 0\]

f) Ta có:

• \[0 \le x \le y\] nên \[x - y \le 0\] hay \[y - x \ge 0\]

• \[\sqrt {{{\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)}^2}{{\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left[ {\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)} \right]}^2}}  = \sqrt {{{\left[ {\sqrt {{x^2}}  - \sqrt {{y^2}} } \right]}^2}} \]

\[ = \sqrt {{{\left( {x - y} \right)}^2}}  = \left| {x - y} \right| =  - \left( {x - y} \right) = y - x.\]