Chứng minh đẳng thức:

a). \[9 + 4\sqrt 5  = {\left( {\sqrt 5  + 2} \right)^2}\];

b). \[\sqrt {9 + 4\sqrt 5 }  - \sqrt 5  = 2\];

c). \[\sqrt {23 + 8\sqrt 7 }  - \sqrt 7  = 4\];

d).\[\sqrt {a + 4\sqrt {a - 2}  + 2}  + \sqrt {a - 4\sqrt {a - 2}  + 2}  = 4\] (với \[2 \le a \le 6\]).

a)\[\,\frac{{3 - \sqrt x }}{{x - 9}} = \frac{{3 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} =  - \frac{1}{{\sqrt x  + 3}}.\]

b) \[\frac{{x - 5\sqrt x  + 6}}{{\sqrt x  - 3}} = \frac{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x  - 3}} = \sqrt x  - 2.\]

c) \(6 - 2x - \sqrt {9 - 6x + {x^2}}  = 6 - 2x - \sqrt {{{\left( {3 - x} \right)}^2}}  = 6 - 2x - \left| {3 - x} \right| = 6 - 2x - 3 + x = 3 - x.\)

a) \[\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}}  = 3 - x\]

Ta có biến đổi: \[\left| {x - 3} \right| = 3 - x\]

Ta có hai trường hợp:

TH 1: Nếu \[x \ge 3\] thì \[x - 3 = 3 - x \Leftrightarrow x = 3\left( {TM} \right)\]

TH 2: Nếu \[x < 3\] thì \[3 - x = 3 - x \Leftrightarrow 0 = 0\left( {TM} \right)\]

Vậy tất cả \[x \le 3\] đều thỏa mãn.

b). \[\sqrt {25 - 20x + 4{x^2}}  + 2x = 5\]

Ta có biến đổi: \[\sqrt {{{\left( {5 - 2x} \right)}^2}}  = 5 - 2x\] hay \[\left| {5 - 2x} \right| = 5 - 2x\]

Ta có hai trường hợp:

TH1: Nếu \[x \le \frac{5}{2}\] thì \[5 - 2x = 5 - 2x\] nên \[0 = 0\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)\]

TH2: Nếu \[x > \frac{5}{2}\] thì \[2x - 5 = 5 - 2x\] hay \[x = \frac{5}{2}\] (L)

Vậy tất cả \[x \le \frac{5}{2}\]đều thỏa mãn.

c) \[\sqrt {{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{{16}}}  = \frac{1}{4} - x\]

Ta có biến đổi: \[\sqrt {{{\left( {x - \frac{1}{4}} \right)}^2}}  = \frac{1}{4} - x\] hay \[\left| {x - \frac{1}{4}} \right| = \frac{1}{4} - x\]

Tương tự ta có: tất cả \[x \le \frac{1}{4}\]đều thỏa mãn.

d). \[\sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} }  = \sqrt {x - 1}  - 1\].

Điều kiện: \[x \ge 1\]

Ta có biến đổi: \[\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1}  - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {x - 1}  - 1 \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 1}  - 1} \right| = \sqrt {x - 1}  - 1\]

Ta có hai trường hợp:

Nếu \[\sqrt {x - 1}  \ge 1\] thì \[x \ge 2\] nên \[\sqrt {x - 1}  - 1 = \sqrt {x - 1}  - 1\] (TM)

Nếu: \[\sqrt {x - 1}  < 1\] thì \[x < 2\] nên \[1 - \sqrt {x - 1}  = \sqrt {x - 1}  - 1\] hay \[x = 2\] (TM)

Vậy: \[x \ge 2\] đều thỏa mãn.

e) \[\sqrt {1 - 12x + 36{x^2}}  = 5\]

Ta có biến đổi: \[\sqrt {{{\left( {1 - 6x} \right)}^2}}  = 5\] hay \[\left| {1 - 6x} \right| = 5\]

Ta có hai trường hợp:

Nếu: \[x \le \frac{1}{6}\] thì \[1 - 6x = 5\] hay \[x =  - \frac{2}{3}\] (TM)

Nếu: \[x > \frac{1}{6}\] thì \[6x - 1 = 5\] hay \[x = 1\] (TM)

Vậy: \[x =  - \frac{2}{3}\] và \[x = 1\] là giá trị cần tìm.

g). \[\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} }  = 2\]

Điều kiện: \[x \ge 1\]

Ta có biến đổi: \[\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1}  + 1} \right)}^2}}  = 2\] hay \[\left| {\sqrt {x - 1}  + 1} \right| = 2\]

Ta có hai trường hợp:

TH1: \[\sqrt {x - 1}  + 1 = 2\] hay \[\sqrt {x - 1}  = 1\] nên \[x - 1 = 1\], suy ra \[x = 2\]

TH2: \[\sqrt {x - 1}  + 1 =  - 2\] hay \[\sqrt {x - 1}  =  - 3\] (vô lý).

Vậy: \[x = 2\] là giá trị cần tìm.