Rút gọn các biểu thức

a). \(\sqrt {50} - \sqrt {32} + 3\sqrt 8 \);                                                               b). \(\sqrt {25a} + 2\sqrt {160a} - 3\sqrt {10a} \) với \(a \ge 0\).

c). \(\left( {2\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)\sqrt 7 - \sqrt {84} \).                       d). \(\left( {\sqrt {63} - \sqrt 8 - \sqrt 7 } \right)\sqrt 7 + 2\sqrt {14} \).

a). Với \(a \ge 0\), ta có: \(3\sqrt {2a}  - \sqrt {18{a^3}}  + 4\sqrt {\frac{a}{2}}  - \frac{1}{4}\sqrt {128a} \)

\( = 3\sqrt {2a}  - 3a\sqrt {2a}  + 2\sqrt {2a}  - 2\sqrt {2a} \)

\( = 3\sqrt {2a}  - 3a\sqrt {2a}  = 3\left( {1 - a} \right)\sqrt {2a} .\)

b). Với \(x > y > 0\), ta có: \(2y\sqrt {x - y}  + x\sqrt {\frac{1}{{x - y}}}  - x\sqrt {\frac{a}{{ax - ay}}}  - \sqrt {{x^3} - {x^2}y} \)

\( = 2y\sqrt {x - y}  + x\sqrt {\frac{1}{{x - y}}}  - x\sqrt {\frac{a}{{a\left( {x - y} \right)}}}  - \sqrt {{x^2}\left( {x - y} \right)} \)

\( = 2y\sqrt {x - y}  - \left| x \right|\sqrt {x - y}  + x\sqrt {\frac{1}{{x - y}}}  - x\sqrt {\frac{1}{{x - y}}} \)

\( = \sqrt {x - y} \left( {2y - x} \right)\) (do \(x > 0\)).

c). Với \(a \ge 0,b \ge 0,a \ne b\), ta có:
\(\frac{{\sqrt a  + \sqrt b }}{{\sqrt a  - \sqrt b }} + \frac{{\sqrt a  - \sqrt b }}{{\sqrt a  + \sqrt b }} = \frac{{{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}}\)

\( = \frac{{a + 2\sqrt {ab}  + b + a - 2\sqrt {ab}  + b}}{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}} = \frac{{2a + 2b}}{{a - b}}\).

a) (ĐK\[{\rm{ a}} \ge 0\])

\[\begin{array}{l}A = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a  + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\\\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt a \left( {{{\sqrt a }^3} + 1} \right)}}{{a - \sqrt a  + 1}} - \frac{{\sqrt a (2\sqrt a  + 1)}}{{\sqrt a }} + 1 = \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {a - \sqrt a  + 1} \right)}}{{a - \sqrt a  + 1}} - (2\sqrt a  + 1) + 1\\\,\,\,\,\, = a + \sqrt a  - 2\sqrt a  - 1 + 1 = a - \sqrt a \end{array}\]

b) Với \[{\rm{ a}} \ge 1\] hay \[\sqrt a  \ge 1\] nên \[\sqrt a  - 1 \ge 0\] và \[a \ge 1\], suy ra \[a \ge 0\]

Suy ra \[A = a - \sqrt a  = \sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right) \ge 0\]

Khi đó \[A \ge 0 \Rightarrow \left| A \right| = A\]

Vậy \[\left| A \right| = A\].

c) Tìm \(a\) để \(A = 2\)

\[\begin{array}{l}a - \sqrt a  = 2\\a - \sqrt a  - 2 = 0\\a + \sqrt a  - 2\sqrt a  - 2 = 0\\\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right) - 2\left( {\sqrt a  + 1} \right) = 0\\\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right) = 0\end{array}\]

\[\sqrt a  + 1 = 0\] hoặc \[\sqrt a  - 2 = 0\]

\[\sqrt a  =  - 1\] (vô nghiệm) hoặc \[\sqrt a  = 2\].

\[a = 4\]

Đối chiếu điều kiện ta được \[a = 4\] thì \[{\rm{A = 2}}\].

d). \[A = a - \sqrt a  = a - 2\sqrt a \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = {\left( {\sqrt a  - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4}\]

Vì \[{\left( {\sqrt a  - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\] với mọi a.

Nên \[{\left( {\sqrt a  - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \ge  - \frac{1}{4}\] với mọi a.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng \[ - \frac{1}{4}\] khi và chỉ khi \[\sqrt a  - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}\]