Rút gọn biểu thức:

a) \(A = \frac{1}{{7 + 4\sqrt 3 }} + \frac{1}{{7 - 4\sqrt 3 }}\);                         b) \(B = \frac{{15}}{{\sqrt 6  + 1}} + \frac{4}{{\sqrt 6  - 2}} - \frac{{12}}{{3 - \sqrt 6 }} - \sqrt 6 \).

Cho biểu thức: \(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}\)

a) Rút gọn A nếu \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\);

b) Tìm x để \(A = 2\).

Khử mẫu các biểu thức dưới dấu căn rồi thực hiện phép tính:\[2\sqrt {\frac{3}{{20}}} + \sqrt {\frac{1}{{60}}} - \sqrt {\frac{1}{{15}}} \].

Cho biểu thức: \(C = \left( {\frac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

a) Rút gọn C nếu \(x \ge 0,x \ne 1;\)

b) Tìm \(x\) để C dương;

c) Tìm giá trị lớn nhất của      C.

Chứng minh đẳng thức:

a). \[\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a  - \sqrt b }} - \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a  + \sqrt b }} - \frac{{2b}}{{a - b}} = 1{\rm{ (a}} \ge {\rm{0}}{\rm{,b}} \ge {\rm{0}}{\rm{,a}} \ne {\rm{0);}}\]

b). \[\frac{{a\sqrt b  + b}}{{a - b}}\sqrt {\frac{{ab + {b^2} - 2\sqrt {a{b^2}} }}{{a\left( {a + 2\sqrt b } \right) + b}}} \left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right) = b{\rm{  }}\left( {a > b > 0} \right)\]

Giải phương trình:

a) \[\frac{1}{2}\sqrt {x - 1} - \frac{3}{2}\sqrt {9x - 9} + 24\sqrt {\frac{{x - 1}}{{64}}} = - 17;\]

b)\[3x - 7\sqrt x + 4 = 0;\]

c) \[ - 5x + 7\sqrt x + 12 = 0;\]

Xét biểu thức: \[B = \left( {\frac{3}{{\sqrt {a + 1} }} + \sqrt {1 - a} } \right):\left( {\frac{3}{{\sqrt {1 - {a^2}} }} + 1} \right)\]

a). Rút gọn \(B\);

b). Tìm giá trị của \(B\) nếu \[a = \frac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }};\]

c). Với giá trị nào của a thì \[{\rm{ }}\sqrt B  > B\].

Chưng minh dăng thưc:

a) \(\frac{{\sqrt {{a^2} + {x^2}}  + \sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}}  - \sqrt {{a^2} - {x^2}} }} - \sqrt {\frac{{{a^4}}}{{{x^4}}} - 1}  = \frac{{{a^2}}}{{{x^2}}};\) với \(|a| > |x|\)

b) \({\left( {\frac{{5 + 2\sqrt 6 }}{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}} \right)^2} - {\left( {\frac{{5 - 2\sqrt 6 }}{{\sqrt 3  - \sqrt 2 }}} \right)^2} = 4\sqrt 6 \)

c) \(\left( {\frac{{x\sqrt x  - y\sqrt y }}{{\sqrt x  - \sqrt y }} + \sqrt {xy} } \right):{(\sqrt x  + \sqrt y )^2} = 1\quad (x > 0,y > 0,x \ge y)\)