Rút gọn biểu thức:

a) \(\frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 + 2}} - \frac{2}{{2 + \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 }}\) b) \(\frac{{2 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 + \sqrt {3 + \sqrt 5 } }} + \frac{{2 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 - \sqrt {3 - \sqrt 5 } }}\)

Câu hỏi trong đề: 19 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 9. Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a). Ta có: \(\frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 + 2}} - \frac{2}{{2 + \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 (1 + \sqrt 2 )}} - \frac{2}{{\sqrt 2 (\sqrt 2 + 1)}} + \frac{{{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt 2 (\sqrt 2 + 1)}}\)

\( = \frac{{\sqrt 2 - 1 - 2 + 2 + 2\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 (\sqrt 2 + 1)}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 (\sqrt 2 + 1)}} = \frac{3}{{\sqrt 2 + 1}} = \frac{{3\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{2 - 1}} = 3\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\)

b). Ta có: \(\frac{{2 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 + \sqrt {3 + \sqrt 5 } }} + \frac{{2 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 - \sqrt {3 - \sqrt 5 } }} = \frac{{2\sqrt 2 + \sqrt {10} }}{{2 + \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }} + \frac{{2\sqrt 2 - \sqrt {10} }}{{2 - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }}\)

\( = \frac{{2\sqrt 2 + \sqrt {10} }}{{2 + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}^2}} }} + \frac{{2\sqrt 2 - \sqrt {10} }}{{2 - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} }}\) \( = \frac{{2\sqrt 2 + \sqrt {10} }}{{2 + \sqrt 5 + 1}} + \frac{{2\sqrt 2 - \sqrt {10} }}{{2 - \sqrt 5 + 1}} = \frac{{2\sqrt 2 + \sqrt {10} }}{{3 + \sqrt 5 }} + \frac{{2\sqrt 2 - \sqrt {10} }}{{3 - \sqrt 5 }}\)

\( = \frac{{\left( {2\sqrt 2 + \sqrt {10} } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right) + \left( {2\sqrt 2 - \sqrt {10} } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}\)

\( = \frac{{6\sqrt 2 - 2\sqrt {10} + 3\sqrt {10} - \sqrt {50} + 6\sqrt 2 + 2\sqrt {10} - 3\sqrt {10} - \sqrt {50} }}{{9 - 5}}\)

\( = \frac{{12\sqrt 2 - 2\sqrt {50} }}{4} = \frac{{12\sqrt 2 - 10\sqrt 2 }}{4} = \frac{{2\sqrt 2 }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho biểu thức: \(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}\)

a) Rút gọn A nếu \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\);

b) Tìm x để \(A = 2\).

Xem đáp án

Lời giải

a) Với \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\), ta có:\(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{2 + 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{x + 3\sqrt x + 2 + 2x - 4\sqrt x - 2 - 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)\( = \frac{{3x - 6\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\)

b) Khi \(A = 2\) ta được \(\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = 2 \Leftrightarrow 3\sqrt x = 2\left( {\sqrt x + 2} \right) \Leftrightarrow \sqrt x = 4 \Leftrightarrow x = 16{\rm{ }}(tm{\rm{ }}x \ge 0,x \ne 4)\)

Vậy \(x = 16\).

Câu 2

Cho biểu thức: \(C = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

a) Rút gọn C nếu \(x \ge 0,x \ne 1;\)

b) Tìm \(x\) để C dương;

c) Tìm giá trị lớn nhất của C.

Xem đáp án

Lời giải

a) ĐK: \(x \ge 0,x \ne 1\), ta có:

\(C = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2} = \left( {\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) - \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

\( = \frac{{x - \sqrt x - 2 - x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2} = \frac{{ - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

\( = \frac{{ - \sqrt x {{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {1 - x} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right)\)

b) Ta có:\(C > 0 \Leftrightarrow \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right) > 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt x > 0 \Leftrightarrow 1 > \sqrt x \Rightarrow 0 \le x < 1.\)

c) Với \(x \ge 0,x \ne 1\), ta có\(C = \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right) = \sqrt x - x = - \left( {x - \sqrt x } \right) = - \left( {x - 2\sqrt x .\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}} \right) = - {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4}\)

Vì \( - {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên \( - {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4} \le \frac{1}{4}\) với mọi \(x \ge 0\).

Do đó: \(C \le \frac{1}{4}\) với mọi \(x \ge 0\)

GTLN của \(C = \frac{1}{4}\) khi \(\sqrt x - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}.\)

Vậy GTLN của \(C = \frac{1}{4}\) khi \(x = \frac{1}{4}\).

Câu 3