Rút gọn biểu thức:

a) \(\frac{{\sqrt 2  - 1}}{{\sqrt 2  + 2}} - \frac{2}{{2 + \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt 2  + 1}}{{\sqrt 2 }}\) b) \(\frac{{2 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 2  + \sqrt {3 + \sqrt 5 } }} + \frac{{2 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2  - \sqrt {3 - \sqrt 5 } }}\)

a) (ĐK\[{\rm{ a}} \ge 0\])

\[\begin{array}{l}A = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a  + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\\\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt a \left( {{{\sqrt a }^3} + 1} \right)}}{{a - \sqrt a  + 1}} - \frac{{\sqrt a (2\sqrt a  + 1)}}{{\sqrt a }} + 1 = \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {a - \sqrt a  + 1} \right)}}{{a - \sqrt a  + 1}} - (2\sqrt a  + 1) + 1\\\,\,\,\,\, = a + \sqrt a  - 2\sqrt a  - 1 + 1 = a - \sqrt a \end{array}\]

b) Với \[{\rm{ a}} \ge 1\] hay \[\sqrt a  \ge 1\] nên \[\sqrt a  - 1 \ge 0\] và \[a \ge 1\], suy ra \[a \ge 0\]

Suy ra \[A = a - \sqrt a  = \sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right) \ge 0\]

Khi đó \[A \ge 0 \Rightarrow \left| A \right| = A\]

Vậy \[\left| A \right| = A\].

c) Tìm \(a\) để \(A = 2\)

\[\begin{array}{l}a - \sqrt a  = 2\\a - \sqrt a  - 2 = 0\\a + \sqrt a  - 2\sqrt a  - 2 = 0\\\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right) - 2\left( {\sqrt a  + 1} \right) = 0\\\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right) = 0\end{array}\]

\[\sqrt a  + 1 = 0\] hoặc \[\sqrt a  - 2 = 0\]

\[\sqrt a  =  - 1\] (vô nghiệm) hoặc \[\sqrt a  = 2\].

\[a = 4\]

Đối chiếu điều kiện ta được \[a = 4\] thì \[{\rm{A = 2}}\].

d). \[A = a - \sqrt a  = a - 2\sqrt a \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = {\left( {\sqrt a  - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4}\]

Vì \[{\left( {\sqrt a  - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\] với mọi a.

Nên \[{\left( {\sqrt a  - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \ge  - \frac{1}{4}\] với mọi a.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng \[ - \frac{1}{4}\] khi và chỉ khi \[\sqrt a  - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}\]

a) Ta có \(\sqrt {50}  - \sqrt {32}  + 3\sqrt 8  = \sqrt {25.2}  - \sqrt {16.2}  + 3\sqrt {4.2}  = 5\sqrt 2  - 4\sqrt 2  + 3.2.\sqrt 2  = 7\sqrt 2 \).

b) \(\sqrt {25a}  + 2\sqrt {160a}  - 3\sqrt {10a}  = \sqrt {25.10a}  + 2.\sqrt {16.10a}  - 3\sqrt {10a} \)

\( = 5\sqrt {10a}  + 2.4.\sqrt {10a}  - 3\sqrt {10a}  = 10\sqrt {10a} \).

c) \(\left( {2\sqrt 7  + \sqrt 3 } \right)\sqrt 7  - \sqrt {84}  = 2\sqrt 7 .\sqrt 7  + \sqrt 3 .\sqrt 7  - \sqrt {4.21} \)

\( = 2.7 + \sqrt {21}  - 2\sqrt {21}  = 14 - \sqrt {21} \).

d) \(\left( {\sqrt {63}  - \sqrt 8  - \sqrt 7 } \right)\sqrt 7  + 2\sqrt {14}  = \sqrt {63} .\sqrt 7  - \sqrt 8 .\sqrt 7  - \sqrt 7 .\sqrt 7  + 2\sqrt {14} \)

\( = \sqrt {9.7.7}  - 2\sqrt 2 .\sqrt 7  - 7 + 2\sqrt {14}  = 3.7 - 2\sqrt {14}  - 7 + 2\sqrt {14}  = 14\).