Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến tại A và B với nửa đường tròn. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến tại A và B lẩn lượt tại C và D.

a) Chứng minh rằng: CD = CA + BD; \[\widehat {COD} = 90^\circ .\]

b) Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

Cho đường tròn (O) dây BC khác đường kính, qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn ở A Chứng minh rằng AC la tiếp tuyến của đường tròn (O).

Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB\). \(M\) là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, kẻ \(MH\) vuông góc với \(AB\) (\(H\) thuộc \(AB)\). Vẽ đường tròn tâm \(M\) bán kính \(MH\). Kẻ các tiếp tuyến \(AC\), \(BD\) với đường tròn tâm \(M\) (\(C\), \(D\) là các tiếp điểm).

a) Chứng minh ba điểm \(C\), \(M\), \(D\) thẳng hàng và \(CD\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).

b) Chứng minh rằng khi \(M\) di chuyển trên nửa đường tròn \(\left( O \right)\) thì \(AC + BD\) không đổi.

Từ điểm \[A\] nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) vẽ tiếp tuyến \(AB\) ( \(B\) là tiếp điểm). Lấy một điểm \(C\) trên đường tròn sao cho \(AC = AB\). Chứng minh rằng \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).