Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến PA, PB (A, B là các tiếp điểm). Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến đường kính BC. Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm I của
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi D là giao điểm của đường thẳng AC và BP. Ta có \[\widehat {BAC} = 90^\circ \] (BC là đường kính)
\( \Rightarrow \)\(\widehat {BAD} = 90^\circ \) (kề bù)
\( \Rightarrow \)\(\widehat {DAP} + \widehat {PAB} = 90^\circ \) (1)
\(\Delta ABD\)vuông tại A (cmt)
\( \Rightarrow \)\(\widehat {DBA} + \widehat {ADB} = 90^\circ \) (2)
Mặt khác PA, PB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại P của đường tròn (O) nên PA = PB và \(\widehat {PAB} = \widehat {PBA}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra : \(\widehat {DAP} = \widehat {ADP}\)
Do đó \(\Delta APD\)cân tại P \( \Rightarrow \)PA = PD mà PA = PB (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow \) PD = PB
Lại có \(DB\,{\rm{//}}\,AH\,\,( \bot BC)\)
Xét \(\Delta PBC\)có \(IH\,{\rm{//}}\,PB\,\,( \bot BC)\)\( \Rightarrow \)\[\frac{{IH}}{{PB}} = \frac{{IC}}{{PC}}\] (định lí Thalès) (4)
Tương tự \(\Delta PDC\)có \[IA\,{\rm{//}}\,PD\,\,( \bot BC)\]\( \Rightarrow \)\[\frac{{IA}}{{PD}} = \frac{{IC}}{{PC}}\] (định lí Thalès) (5)
Từ (4) và (5) suy ra : \[\frac{{IH}}{{PB}} = \frac{{AI}}{{DP}}\]\( \Rightarrow \)\(IH = IA\) (vì PB = PD)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập