Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. Từ một điểm M trên cung tròn trên cung nhỏ BC kẻ một tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến kia tại P và Q. Chứng minh rằng khi M chuyển động trên cung BC thì chu vi tam giác APQ có giá trị không đổi.

Cho đường tròn (O) dây BC khác đường kính, qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn ở A Chứng minh rằng AC la tiếp tuyến của đường tròn (O).

Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB\). \(M\) là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, kẻ \(MH\) vuông góc với \(AB\) (\(H\) thuộc \(AB)\). Vẽ đường tròn tâm \(M\) bán kính \(MH\). Kẻ các tiếp tuyến \(AC\), \(BD\) với đường tròn tâm \(M\) (\(C\), \(D\) là các tiếp điểm).

a) Chứng minh ba điểm \(C\), \(M\), \(D\) thẳng hàng và \(CD\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).

b) Chứng minh rằng khi \(M\) di chuyển trên nửa đường tròn \(\left( O \right)\) thì \(AC + BD\) không đổi.

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến tại A và B với nửa đường tròn. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến tại A và B lẩn lượt tại C và D.

a) Chứng minh rằng: CD = CA + BD; \[\widehat {COD} = 90^\circ .\]

b) Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

Từ điểm \[A\] nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) vẽ tiếp tuyến \(AB\) ( \(B\) là tiếp điểm). Lấy một điểm \(C\) trên đường tròn sao cho \(AC = AB\). Chứng minh rằng \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).