Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. Từ một điểm M trên cung tròn trên cung nhỏ BC kẻ một tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến kia tại P và Q. Chứng minh rằng khi M chuyển động trên cung BC thì chu vi tam giác APQ có giá trị không đổi.

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ đường tròn đường kính AO cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm B và C.

a) Chứng minh AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

b) Chứng minh AB=AC.

c) Xác định tia phân giác của \[\widehat {BAC}\] và \[\widehat {BOC}\]

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến tại A và B với nửa đường tròn. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến tại A và B lẩn lượt tại C và D.

a) Chứng minh rằng: CD = CA + BD; \[\widehat {COD} = 90^\circ .\]

b) Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) một đường thả̉ng \(d\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại hai điểm \(D\) và \(E\). Một điểm \(A\) di động trên đường thả̉ng \(d\) và \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\), kẻ hai tiếp tuyến \(AB\), \(AC\) đến đường tròn (\(B\), \(C\) là hai tiếp điểm). Gọi \(I\) là trung điểm của \(DE\), đường thẳng \(OI\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(N\). Chứng minh rằng: Khi \(A\) di động trên đường thả̉ng \(d\) thì \(BC\) luôn đi qua một điểm cố định.

Từ điểm \[A\] nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) vẽ tiếp tuyến \(AB\) ( \(B\) là tiếp điểm). Lấy một điểm \(C\) trên đường tròn sao cho \(AC = AB\). Chứng minh rằng \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho AC=R. Gọi I là trung điểm của dây AC. Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến Ax tại M. Chứng minh rằng:

a) \[\widehat {ACB}\] có số đo bằng 90°, từ đó suy ra độ dài của BC theo R;

b) OM là tia phân giác của \[\widehat {COA}\];

c) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến PA, PB (A, B là các tiếp điểm). Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến đường kính BC. Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm I của AH.