Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB\). \(M\) là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, kẻ \(MH\) vuông góc với \(AB\) (\(H\) thuộc \(AB)\). Vẽ đường tròn tâm \(M\) bán kính \(MH\). Kẻ các tiếp tuyến \(AC\), \(BD\) với đường tròn tâm \(M\) (\(C\), \(D\) là các tiếp điểm).

a) Chứng minh ba điểm \(C\), \(M\), \(D\) thẳng hàng và \(CD\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).

b) Chứng minh rằng khi \(M\) di chuyển trên nửa đường tròn \(\left( O \right)\) thì \(AC + BD\) không đổi.

Gọi D là giao điểm của đường thẳng AC và BP. Ta có \[\widehat {BAC} = 90^\circ \] (BC là đường kính)

\( \Rightarrow \)\(\widehat {BAD} = 90^\circ \) (kề bù)

\( \Rightarrow \)\(\widehat {DAP} + \widehat {PAB} = 90^\circ \) (1)

\(\Delta ABD\)vuông tại A (cmt)

\( \Rightarrow \)\(\widehat {DBA} + \widehat {ADB} = 90^\circ \) (2)

Mặt khác PA, PB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại P của đường tròn (O) nên PA = PB và \(\widehat {PAB} = \widehat {PBA}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra : \(\widehat {DAP} = \widehat {ADP}\)

Do đó \(\Delta APD\)cân tại P \( \Rightarrow \)PA = PD mà PA = PB (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow \) PD = PB

Lại có \(DB\,{\rm{//}}\,AH\,\,( \bot BC)\)

Xét \(\Delta PBC\)có \(IH\,{\rm{//}}\,PB\,\,( \bot BC)\)\( \Rightarrow \)\[\frac{{IH}}{{PB}} = \frac{{IC}}{{PC}}\] (định lí Thalès) (4)

Tương tự \(\Delta PDC\)có \[IA\,{\rm{//}}\,PD\,\,( \bot BC)\]\( \Rightarrow \)\[\frac{{IA}}{{PD}} = \frac{{IC}}{{PC}}\] (định lí Thalès) (5)

Từ (4) và (5) suy ra : \[\frac{{IH}}{{PB}} = \frac{{AI}}{{DP}}\]\( \Rightarrow \)\(IH = IA\) (vì PB = PD)

Ta có chu vi \(\Delta APQ\) bằng AP + PQ + QA và PQ = PM + MQ nên chu vi \(\Delta APQ\) bằng \[AP + PM + MQ + QA{\rm{ }}\left( 1 \right)\]

Mặt khác ta có: PB = PM và QC = QM (2) (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)

Từ (1) và (2) ta có :

AP + PM + MQ + QA = AP + PB + QC + QA = AB + AC

Vậy chu vi \(\Delta APQ\) bằng AB + AC không đổi.