Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB\). \(M\) là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, kẻ \(MH\) vuông góc với \(AB\) (\(H\) thuộc \(AB)\). Vẽ đường tròn tâm \(M\) bán kính \(MH\). Kẻ các tiếp tuyến \(AC\), \(BD\) với đường tròn tâm \(M\) (\(C\), \(D\) là các tiếp điểm).

a) Chứng minh ba điểm \(C\), \(M\), \(D\) thẳng hàng và \(CD\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).

b) Chứng minh rằng khi \(M\) di chuyển trên nửa đường tròn \(\left( O \right)\) thì \(AC + BD\) không đổi.

a) Ta có \(AC\), \(AH\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {M;MH} \right)\) nên \(AM\) là phân giác của góc \(\widehat {CMH}\) hay \(\widehat {CMA} = \widehat {AMH}\)

Chứng minh tương tự có \(\widehat {HMB} = \widehat {BMD}\) Mà \(\widehat {AMH} + \widehat {HMB} = \widehat {AMB} = 90^\circ \) (\(AB\) là đường kính)\( \Rightarrow \widehat {CMA} + \widehat {AMH} + \widehat {HMB} + \widehat {BMD} = 180^\circ \) hay ba điểm \(C\), \(M\), \(D\) thẳng hàng \( \Rightarrow CA//BD\left( { \bot CD} \right)\) hay tứ giác \(ABDC\) là hình thang vuông có \(OM\) là đường trung bình nên \(OM{\rm{//}}AC\) và \(BD \Rightarrow OM \bot CD\). Chứng tỏ \(CD\) là tiếp tuyến của (O).

b) Ta có \(AC = AH\), \(BD = BH\) (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow AC + BD = AH + BH = AB = 2R\) không đổi.