Cho đường tròn (O) đường kính AB. C là một điểm nằm trên đường tròn (O), các tiếp tuyến của đường tròn tại A và C cắt nhau ở D. Gọi H là hình chiếu của C trên AB và I là giao điểm của BD và CH. Chứng minh rằng CI = HI.

a) Ta có: \(DA = DC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\(OA = OC\;( = R)\)

Nên DO là đường trung trực của AC

\( \Rightarrow \) \(DO \bot AC\)

Lại có \(CB \bot AC\) (AB là đường kính)

\( \Rightarrow \) \(DO//BC\)\( \Rightarrow \) \(\widehat {AOD} = \widehat {ABC}\)(đồng vị)

Do đó $\Delta DOA\backsim \Delta CHB$ (g.g)

\( \Rightarrow \) \(\frac{{AO}}{{HB}} = \frac{{AD}}{{HC}}\) \( \Rightarrow \)\(AO.HC = AD.HB\) (1)

Lại có \(IH//AD\)(cùng vuông góc với AB) theo hệ quả của định lí Thalès

\(\frac{{IH}}{{AD}} = \frac{{HB}}{{AB}}\)\( \Rightarrow \)\(AD.HB = IH.AB\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \)\(AO.HC = IH.AB\) mà \(AB = 2AO\)

\( \Rightarrow \)\(AO.HC = IH.2AO\)\( \Rightarrow \)\(HC = 2IH\)

Chứng tỏ I là trung điểm của HC hay CI = HI.

Cách khác:

Có \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (AB là đường kính)

\( \Rightarrow \)\(\widehat {ACE} = 90^\circ \) hay \(\widehat {ACD} + \widehat {DCE} = 90^\circ \) (1)

\(\Delta ACE\) vuông tại C \( \Rightarrow \)\[\widehat {{A_1}} + \widehat E = 90^\circ \] (2)

Lại có \(\Delta ADC\)cân tại D (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)\( \Rightarrow \)\[\widehat {{A_1}} = \widehat {ACD}\] (3)

Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \) \[\widehat E = \widehat {DCE}\]

Hay \(\Delta EDC\)cân tại D \( \Rightarrow \)\[DE = DC\]

Mà \[DC = DA\]\( \Rightarrow \)\[DE = DA\]

Lại có \[AE\,{\rm{//}}\,CH\,\,( \bot AB)\]

Xét \[\Delta DAB\] có \[IH\,{\rm{//}}\,AD\].

Theo hệ quả của định lí Thalès \[\frac{{IH}}{{AD}} = \frac{{BI}}{{BD}}\] (4)

Tương tự với \[\Delta BDE\] có \[CI//DE\]\[ \Rightarrow \]\[\frac{{IH}}{{AD}} = \frac{{CI}}{{DE}}\] mà \[AD = DE\] (cmt) \( \Rightarrow \)\[IH = CI\].