Trong không gian cho các mệnh đề sau:

\[I.\] Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì song song với nhau.

\[II.\] Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó.

\[III.\] Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song với nhau

\[IV.\] Qua điểm \(A\) không thuộc đường thẳng \[d\], kẻ được đúng một đường thẳng song song với \[d\].

Số mệnh đề đúng là:

Trong mp \((SCD)\), gọi \(N = KF \cap SC\), có \(KF \subset (EFM)\). Do đó \(SC \cap (EFM) = N\).

Có \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MN = (EFK) \cap (SBC)}\\{EF//BC;EF \subset (EFK),BC \subset (SBC)}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow MN//EF//BC\).

Suy ra tứ giác \(EFNM\) là hình thang.

Trong mp \((ADNM)\), gọi \(I = AM \cap DN\).

Mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I \in AM,AM \subset (SAB)}\\{I \in CD,CD \subset (SCD)}\end{array} \Rightarrow I \in (SAB) \cap (SCD)} \right.\),

Hay \(I \in SK\). Kết luận 3 đường thẳng \(AM,DN,SK\) đồng quy tại điểm \(I\).

Khi \(AD = 2BC\) dễ dàng chứng minh được \(B,C\) lần lượt là trung điểm của \(KA\) và \(KD\). Suy ra \(M,N\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác \(SAK\) và \(SDK\).

Do đó \(MN = \frac{2}{3}EF\), gọi \({h_1},{h_2}\) lần lượt là độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh \(K\) xuống hai đáy \(MN\) và \(EF\), dễ thấy \({h_1} = \frac{2}{3}{h_2}\). Vậy \(\frac{{{S_{\Delta KMN}}}}{{{S_{\Delta KEF}}}} = \frac{{\frac{1}{2}MN \cdot {h_1}}}{{\frac{1}{2}EF \cdot {h_2}}} = \frac{{\frac{2}{3}EF \cdot \frac{2}{3}{h_2}}}{{EF \cdot {h_2}}} = \frac{4}{9}\).

Gọi \(O = AC \cap BD\), \(I = SO \cap AM\). Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) qua \(I\) kẻ \(EF//BD\), khi đó ta có \(\left( {AEMF} \right) \equiv \left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng chứa \(AM\) và song song với \(BD\). Do đó thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là tứ giác \(AEMF\).

Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{FE\,{\rm{//}}\,BD}\\{BD \bot \left( {SAC} \right)}\end{array}} \right.\]\[ \Rightarrow FE \bot \left( {SAC} \right)\]\[ \Rightarrow FE \bot AM\].

Mặt khác ta có:

*\(AC = 2a = SA\) nên tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(A\), suy ra \(AM = a\sqrt 2 \).

* \(I\) là trọng tâm tam giác \(SAC\), mà \(EF\,{\rm{//}}\,BD\) nên tính được \(EF = \frac{2}{3}BD = \frac{{4a}}{3}\).

Tứ giác \(AEMF\) có hai đường chéo \(FE \bot AM\) nên \({S_{AEMF}} = \frac{1}{2}FE.AM = \frac{{2{a^2}\sqrt 2 }}{3}\).