Trong sân vận động được chia làm 4 khu vực A,B,C,D. Trong khu A có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 15 ghế. Các dãy sau, mỗi dãy nhiều hơn dãy ngay trước nó 4 ghế. Hỏi khu A có tất cả bao nhiêu ghế?

Lời giải

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\)

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) có \(AB\;{\rm{//}}\;CD\) và \(MN\) cắt \(AB\) nên đường thẳng \(MN\) cắt đường thẳng \(CD\) tại \(I\). \(I\) và \(S\) là các điểm chung của mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).Suy ra giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng \(SI\).

b) Gọi \(E\) và \(G\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(SAB\) và \(SBC\). Chứng minh \(EG\;{\rm{//}}\;\left( {ABCD} \right)\).

\(E\) và \(G\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(SAB\) và \(SBC\) nên \(E \in SM,\) \(G \in SN\)  và \(\frac{{SE}}{{SM}} = \frac{2}{3};\;\frac{{SG}}{{SN}} = \frac{2}{3}.\)Tam giác \(SMN\) có \(\frac{{SE}}{{SM}} = \frac{{SG}}{{SN}}\) nên \(EG\;{\rm{//}}\;MN\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}EG \not\subset \left( {ABCD} \right)\\EG\;{\rm{//}}\;MN\\MN \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow EG\;{\rm{//}}\;\left( {ABCD} \right).\)

c) Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng đi qua đường thẳng \(EG\) và song song với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Xác định giao điểm của \(\left( \alpha  \right)\) với đường thẳng \(SD\) (gọi là điểm \(K\)) và tính diện tích tam giác \(EGK\), biết rằng diện tích hình thang \(ABCD\) bẳng \(27\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha  \right)\;{\rm{//}}\;\left( {ABCD} \right)\\\left( {SMD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MD\\E \in \left( {SMD} \right) \cap \left( \alpha  \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SMD} \right) \cap \left( \alpha  \right) = Ex\), với \(Ex\;{\rm{//}}\;MD\), \(Ex\; \cap SD = K\). Như vậy, \(K = \left( \alpha  \right) \cap SD\).

Tam giác \(SMD\) có \(EK\;{\rm{//}}\;MD\) nên \(\frac{{SK}}{{SD}} = \frac{{KE}}{{MD}} = \frac{{SE}}{{SM}} = \frac{2}{3}\). Tương tự \(\frac{{KG}}{{DN}} = \frac{2}{3}\), \(\frac{{EG}}{{MN}} = \frac{2}{3}\).

Suy ra tam giác \(EGK\) đồng dạng với tam giác \(MND\) theo tỉ số \(\frac{2}{3}\). Suy ra $\frac{S_{△EGK}}{S_{△MND}}=\frac{4}{9}$.

Mà $S_{△MND}=\frac{1}{2}{S}_{△BMDC}=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}{S}_{△ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{△ABCD}.$

Nên $S_{△EGK}=\frac{4}{27}{S}_{△ABCD}=4$.

Lời giải

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {\frac{{ - {n^2} + 7n - 9}}{{5{n^2} + 2n}}} \right)\)\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{(\frac{{ - {n^2}}}{{{n^2}}} + \frac{{7n}}{{{n^2}}} - \frac{9}{{{n^2}}})}}{{(\frac{{5{n^2}}}{{{n^2}}} + \frac{{2n}}{{{n^2}}})}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{( - 1 + \frac{7}{n} - \frac{9}{{{n^2}}})}}{{(5 + \frac{2}{n})}}\]\[ = \frac{{ - 1 + 0 - 0}}{{5 + 0}} = \frac{{ - 1}}{5}\].

b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt {x + 21}  - 5}}{{2x - 8}}\]\[\mathop { = \lim }\limits_{x \to 4} \frac{{(\sqrt {x + 21}  - 5)(\sqrt {x + 21}  + 5)}}{{(2x - 8)(\sqrt {x + 21}  + 5)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x + 21 - 25}}{{(2x - 8)(\sqrt {x + 21}  + 5)}}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x - 4}}{{2(x - 4)(\sqrt {x + 21}  + 5)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{1}{{2(\sqrt {x + 21}  + 5)}} = \frac{1}{{2(\sqrt {4 + 21}  + 5)}} = \frac{1}{{20}}\].

c)\[\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{\sqrt {4{n^2} + n}  + 2n - 3}}{{n + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{\sqrt {4 + \frac{1}{n}}  + 2 - \frac{3}{n}}}{{1 + \frac{5}{n}}}\]\[ = \frac{{\sqrt {4 + 0}  + 2 - 0}}{{1 + 0}} = 4.\]

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {2023x + 1} \sqrt[3]{{2024x + 1}} - 1}}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {2023x + 1} \sqrt[3]{{2024x + 1}} - \sqrt[3]{{2024x + 1}}} \right) + \left( {\sqrt[3]{{2024x + 1}} - 1} \right)}}{x}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {2023x + 1} \sqrt[3]{{2024x + 1}} - \sqrt[3]{{2024x + 1}}}}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{2024x + 1}} - 1}}{x}\)\[\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{2024x + 1}}\left( {\sqrt {2023x + 1}  - 1} \right)\left( {\sqrt {2023x + 1}  + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt {2023x + 1}  + 1} \right)}}\\ + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt[3]{{2024x + 1}} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{(2024x + 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{2024x + 1}} + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt[3]{{{{(2024x + 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{2024x + 1}} + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2023.\sqrt[3]{{2024x + 1}}}}{{\left( {\sqrt {2023x + 1}  + 1} \right)}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2024}}{{\sqrt[3]{{{{(2024x + 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{2024x + 1}} + 1}} = \frac{{2023}}{2} + \frac{{2024}}{3} = \frac{{10117}}{6}.\end{array}\]