Ta có ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow \cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - \frac{9}{{25}}} = - \frac{4}{5}$

Khi đó: $\tan \alpha = - \frac{3}{4},\cot \alpha = - \frac{4}{3}$ $ \Rightarrow B = 1.$

Chú ý: Từ giả thiết ta có biểu thức $B$ luôn có nghĩa và có tử số bằng mẫu số nên $B = 1$.

Câu 2/22

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $\sin \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2} + \cos \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2} = \cos \frac{C}{2}$.

Lời giải

$VT = \sin \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2} + \cos \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2} = \sin \left( {\frac{A}{2} + \frac{B}{2}} \right)$$ = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}} \right) = \cos \frac{C}{2} = VP.$

Câu 3/22

Tìm tất cả các giá trị nguyên của \[m\] để phương trình \[\sin 2x + \cos 2x = m\sqrt 2 \] có nghiệm.

Lời giải

Ta có \[\sin 2x + \cos 2x = \sqrt 2 m \Leftrightarrow \sqrt 2 {\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 m\]\[ \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = m\]

Vì \[\left| {\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right| \le 1\] nên \[\left| m \right| \le 1.\] Hay \[ - 1 \le m \le 1\].Do \[m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = \left\{ { - 1;0;1} \right\}.\]

Câu 4/22

Giải phương trình: $\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) - \sin 2x = 0$.

Lời giải

Ta có: $\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) - \sin 2x = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin 2x$

$ \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{6} = 2x + k2\pi \\x + \frac{\pi }{6} = \pi - 2x + k2\pi \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} - k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}$

Câu 5/22

Ông H có một căn hộ cho thuê, năm đầu tiên cho thuê với giá \[60\] triệu đồng/năm, kể từ năm thứ hai trở đi giá cho thuê mỗi năm tăng so với năm liền trước đó \[5\% \]. Hỏi sau \[5\]năm, tổng số tiền ông H thu về từ cho thuê căn hộ đó là bao nhiêu?

Lời giải

Gọi \[{u_n}\] là số tiền ông H thu về sau khi cho thuê sau \[n\]năm.

Năm đầu tiên, ông H thu về: \[{u_1} = 60\].

Năm thứ hai, ông H thu về: \[{u_2} = {u_1}\left( {1 + 5\% } \right) = 1,05{u_1}\].

……

Năm thứ \[n\], ông H thu về \[{u_n} = {u_{n - 1}}\left( {1 + 5\% } \right) = 1,05{u_{n - 1}}\].

Nên \[{u_n}\] là cấp số nhân với \[{u_1} = 60;\,\,q = 1,05\].

Sau 5 năm, tổng số tiền ông H thu về từ cho thuê căn hộ đó là:

\[{S_5} = {u_1}.\frac{{{q^5} - 1}}{{q - 1}} = 60.\frac{{{{1,05}^5} - 1}}{{1,05 - 1}} = 331,537875\] (triệu đồng).

Câu 6/22

Một cái tháp có 11 tầng. Diện tích của mặt sàn tầng 2 bằng nửa diện tích của mặt đáy tháp và diện tích của mặt sàn mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt sàn mỗi tầng ngay bên dưới. Biết mặt đáy tháp có diện tích là $12288\;{m^2}$. Tính diện tích của mặt sàn tầng trên cùng của tháp theo đơn vị mét vuông.

Lời giải

Diện tích mặt đáy tháp là ${u_1} = 12288\left( {\;{m^2}} \right)$.

Diện tích mặt sàn tầng 2 là: ${u_{2\,}} = 12288.\frac{1}{2} = 6144\left( {\;{m^2}} \right)$.

Gọi diện tích mặt sàn tầng $n$ là ${u_n}$ với $n \in {\mathbb{N}^*}$.

Dãy $\left( {{u_n}} \right)$ lập thành một cấp số nhân là ${u_1} = 12288$ và công bội $q = \frac{1}{2}$,

Số hạng tổng quát là: ${u_n} = 12288.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}$.

Diện tích mặt tháp trên cùng chính là mặt tháp thứ 11 nên ta có:

${u_{11}} = 12288 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{11 - 1}} = 12\left( {\;{m^2}} \right)$.

Câu 7/22

Trong sân vận động được chia làm 4 khu vực A,B,C,D. Trong khu A có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 15 ghế. Các dãy sau, mỗi dãy nhiều hơn dãy ngay trước nó 4 ghế. Hỏi khu A có tất cả bao nhiêu ghế?

Lời giải

Gọi \[{u_1},{u_2},...{u_{30}}\] lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai, … và dãy ghế số ba mươi. Ta có công thức tổng quát \[{u_n} = {u_{n - 1}} + 4\]\[(n = 2,3,...30)\]

Kí hiệu \[{S_{30}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{30}}\], theo công thức tổng các số hạng của một cấp số cộng ta được \[{S_{30}} = \frac{{30}}{2}(2{u_1} + (30 - 1)4) = ..... = 2190\]

Vậy khu A có 2 190 ghế.

Câu 8/22

Đầu mùa thu hoạch dưa hấu, bác nông dân Mai An Tiêm đã bán cho người thứ nhất nửa số dưa hấu thu hoạch được và nửa quả, bán cho người thứ hai nửa số dưa hấu còn lại và nửa quả, bán cho người thứ ba nửa số dưa hấu còn lại và nửa quả, ... Đến lượt người thứ mười một bác cũng bán nửa số dưa hấu còn lại và nửa quả thì không còn quả nào nữa. Biết một quả dưa hấu có giá bán 10.000 đồng. Hỏi bác nông dân Mai An Tiêm đã thu được bao nhiêu tiền?

Lời giải

Gọi $x$($x$> 0) là số quả dưa hấu thu hoạch được đầu mùa của bác nông dân Mai An Tiêm.

Người khách hàng thứ nhất đã mua: $\frac{x}{2} + \frac{1}{2} = \frac{{x + 1}}{2}$ quả;

Người thứ 2 mua: $\frac{1}{2}\left( {x - \frac{{x + 1}}{2}} \right) + \frac{1}{2} = \frac{{x + 1}}{{{2^2}}}$ quả;

Người khách hàng thứ 3 mua: $\frac{1}{2}\left( {x - \frac{{x + 1}}{2} - \frac{{x + 1}}{{{2^2}}}} \right) + \frac{1}{2} = \frac{{x + 1}}{{{2^3}}}$ quả;.

…

và người khách hàng thứ 11 mua: $\frac{{x + 1}}{{{2^{11}}}}$ quả. Ta có phương trình:

$\frac{{x + 1}}{2} + \frac{{x + 1}}{{{2^2}}} + ... + \frac{{x + 1}}{{{2^{11}}}} = x$$ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{11}}}}} \right) = x$(*)

Ta có $\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{11}}}} = \frac{1}{2}\,\frac{{1 - \frac{1}{{{2^{11}}}}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{2047}}{{2048}}$

Do đó phương trình (*) $ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\frac{{2047}}{{2048}} = x \Leftrightarrow x = 2047$

Số tiền bác ấy thu được là $20.470.000$ đồng.

Câu 9/22