Một cái tháp có 11 tầng. Diện tích của mặt sàn tầng 2 bằng nửa diện tích của mặt đáy tháp và diện tích của mặt sàn mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt sàn mỗi tầng ngay bên dưới. Biết mặt đáy tháp có diện tích là \(12288\;{m^2}\). Tính diện tích của mặt sàn tầng trên cùng của tháp theo đơn vị mét vuông.

Lời giải

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\)

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) có \(AB\;{\rm{//}}\;CD\) và \(MN\) cắt \(AB\) nên đường thẳng \(MN\) cắt đường thẳng \(CD\) tại \(I\). \(I\) và \(S\) là các điểm chung của mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).Suy ra giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng \(SI\).

b) Gọi \(E\) và \(G\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(SAB\) và \(SBC\). Chứng minh \(EG\;{\rm{//}}\;\left( {ABCD} \right)\).

\(E\) và \(G\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(SAB\) và \(SBC\) nên \(E \in SM,\) \(G \in SN\)  và \(\frac{{SE}}{{SM}} = \frac{2}{3};\;\frac{{SG}}{{SN}} = \frac{2}{3}.\)Tam giác \(SMN\) có \(\frac{{SE}}{{SM}} = \frac{{SG}}{{SN}}\) nên \(EG\;{\rm{//}}\;MN\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}EG \not\subset \left( {ABCD} \right)\\EG\;{\rm{//}}\;MN\\MN \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow EG\;{\rm{//}}\;\left( {ABCD} \right).\)

c) Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng đi qua đường thẳng \(EG\) và song song với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Xác định giao điểm của \(\left( \alpha  \right)\) với đường thẳng \(SD\) (gọi là điểm \(K\)) và tính diện tích tam giác \(EGK\), biết rằng diện tích hình thang \(ABCD\) bẳng \(27\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha  \right)\;{\rm{//}}\;\left( {ABCD} \right)\\\left( {SMD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MD\\E \in \left( {SMD} \right) \cap \left( \alpha  \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SMD} \right) \cap \left( \alpha  \right) = Ex\), với \(Ex\;{\rm{//}}\;MD\), \(Ex\; \cap SD = K\). Như vậy, \(K = \left( \alpha  \right) \cap SD\).

Tam giác \(SMD\) có \(EK\;{\rm{//}}\;MD\) nên \(\frac{{SK}}{{SD}} = \frac{{KE}}{{MD}} = \frac{{SE}}{{SM}} = \frac{2}{3}\). Tương tự \(\frac{{KG}}{{DN}} = \frac{2}{3}\), \(\frac{{EG}}{{MN}} = \frac{2}{3}\).

Suy ra tam giác \(EGK\) đồng dạng với tam giác \(MND\) theo tỉ số \(\frac{2}{3}\). Suy ra $\frac{S_{△EGK}}{S_{△MND}}=\frac{4}{9}$.

Mà $S_{△MND}=\frac{1}{2}{S}_{△BMDC}=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}{S}_{△ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{△ABCD}.$

Nên $S_{△EGK}=\frac{4}{27}{S}_{△ABCD}=4$.

Lời giải

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {\frac{{ - {n^2} + 7n - 9}}{{5{n^2} + 2n}}} \right)\)\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{(\frac{{ - {n^2}}}{{{n^2}}} + \frac{{7n}}{{{n^2}}} - \frac{9}{{{n^2}}})}}{{(\frac{{5{n^2}}}{{{n^2}}} + \frac{{2n}}{{{n^2}}})}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{( - 1 + \frac{7}{n} - \frac{9}{{{n^2}}})}}{{(5 + \frac{2}{n})}}\]\[ = \frac{{ - 1 + 0 - 0}}{{5 + 0}} = \frac{{ - 1}}{5}\].

b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt {x + 21}  - 5}}{{2x - 8}}\]\[\mathop { = \lim }\limits_{x \to 4} \frac{{(\sqrt {x + 21}  - 5)(\sqrt {x + 21}  + 5)}}{{(2x - 8)(\sqrt {x + 21}  + 5)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x + 21 - 25}}{{(2x - 8)(\sqrt {x + 21}  + 5)}}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x - 4}}{{2(x - 4)(\sqrt {x + 21}  + 5)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{1}{{2(\sqrt {x + 21}  + 5)}} = \frac{1}{{2(\sqrt {4 + 21}  + 5)}} = \frac{1}{{20}}\].

c)\[\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{\sqrt {4{n^2} + n}  + 2n - 3}}{{n + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{\sqrt {4 + \frac{1}{n}}  + 2 - \frac{3}{n}}}{{1 + \frac{5}{n}}}\]\[ = \frac{{\sqrt {4 + 0}  + 2 - 0}}{{1 + 0}} = 4.\]

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {2023x + 1} \sqrt[3]{{2024x + 1}} - 1}}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {2023x + 1} \sqrt[3]{{2024x + 1}} - \sqrt[3]{{2024x + 1}}} \right) + \left( {\sqrt[3]{{2024x + 1}} - 1} \right)}}{x}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {2023x + 1} \sqrt[3]{{2024x + 1}} - \sqrt[3]{{2024x + 1}}}}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{2024x + 1}} - 1}}{x}\)\[\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{2024x + 1}}\left( {\sqrt {2023x + 1}  - 1} \right)\left( {\sqrt {2023x + 1}  + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt {2023x + 1}  + 1} \right)}}\\ + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt[3]{{2024x + 1}} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{(2024x + 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{2024x + 1}} + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt[3]{{{{(2024x + 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{2024x + 1}} + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2023.\sqrt[3]{{2024x + 1}}}}{{\left( {\sqrt {2023x + 1}  + 1} \right)}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2024}}{{\sqrt[3]{{{{(2024x + 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{2024x + 1}} + 1}} = \frac{{2023}}{2} + \frac{{2024}}{3} = \frac{{10117}}{6}.\end{array}\]