Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm \(I\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SB\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAD\).

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).

b) Chứng minh \(IM\)// \(\left( {SAD} \right)\).

c) Gọi \(Q\) là giao điểm của đường thẳng \(DA\) và mặt phẳng \(\left( {IMG} \right)\). Tính tỉ số \[\frac{{QD}}{{QA}}\].

Lời giải

Số phần tử của mẫu là \(n = 40\).

Gọi \[{x_1},{x_2}...,{x_{40}}\]là cân nặng của \(40\) học sinh được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là     \[\frac{{{x_{20}} + {x_{21}}}}{2}\]. Khi đó nhóm chứa trung vị là nhóm \(3\): \(\left[ {50;60} \right)\).

Ta có \[p = 3;{a_3} = 50;{m_3} = 16;{m_1} + {m_2} = 12;{a_4} - {a_3} = 10\].

Áp dụng công thức tính trung vị ta có \({Q_2} = {M_e} = 50 + \left( {\frac{{20 - 12}}{{16}}} \right) \cdot 10 = 55\left( {{\rm{\;kg}}} \right).\)

Tứ phân vị thứ nhất \[{Q_1}\] là \[\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}\]. Khi đó nhóm chứa \[{Q_1}\] là nhóm \(2\):\(\left[ {40;50} \right)\)

Ta có \[p = 2;{a_2} = 40;{m_2} = 10;{m_1} = 2;{a_3} - {a_2} = 10\].

Áp dụng công thức tính \[{Q_1}\] ta có \({Q_1} = 40 + \left( {\frac{{10 - 2}}{{10}}} \right) \cdot 10 = 48\left( {{\rm{\;kg}}} \right).\)

Tứ phân vị thứ ba \[{Q_3}\] là \[\frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}\]. Khi đó nhóm chứa \[{Q_3}\] là nhóm \(4\):\(\left[ {60;70} \right)\)

Ta có \[p = 4;{a_4} = 40;{m_4} = 8;{m_1} + {m_2} + {m_3} = 28;{a_5} - {a_4} = 10\].

Áp dụng công thức tính \[{Q_3}\] ta có \({Q_3} = 60 + \left( {\frac{{30 - 28}}{8}} \right).10 = 62,5\left( {{\rm{kg}}} \right).\)

 Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu trên là:\({Q_1} = 48\left( {{\rm{kg}}} \right);{Q_2} = 55\left( {{\rm{kg}}} \right);{Q_3} = 62,5\left( {{\rm{kg}}} \right)\).

Lời giải

Ÿ Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( R \right)//\left( {ABCD} \right)\\K \in \left( R \right)\\CD = \left( R \right) \cap \left( {CDHK} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( R \right) \cap \left( {CDHK} \right)\)là đường thẳng đi qua \[K\] song song với \[CD\] cắt \[HD\] tại \[I\]. Khi đó \((R) \cap (CDHK) = KI\).

Tương tự:

Ÿ \[\left( R \right) \cap \left( {ADHE} \right)\] là đường thẳng đi qua \[I\] song song với \[AD\] cắt \[AE\] tại \[N\]

\[ \Rightarrow \left( R \right) \cap \left( {ADHE} \right) = NI\]

Ÿ \[\left( R \right) \cap \left( {ABFE} \right)\] là đường thẳng đi qua \[N\] song song với \[AB\] cắt \[FB\] tại \[J\]

\[ \Rightarrow \left( R \right) \cap \left( {ABFE} \right) = NJ\]

\[ \Rightarrow \left( R \right) \cap \left( {BCKMF} \right) = KJ\]

Vậy bác thợ mộc cắt khối gỗ theo mặt cắt là tứ giác \(NIKJ\).