Một khối gỗ có các mặt đều là một phần của mặt phẳng với \((ABCD){\rm{//}}(EFMH)\), \(CK{\rm{//}}DH\). Khối gỗ bị hỏng một góc (hình bên). Bác thợ mộc muốn làm đẹp khối gỗ bằng cách cắt khối gỗ theo mặt phẳng \((R)\) đi qua \(K\) và song song với mặt phẳng \((ABCD)\). Hãy giúp bác thợ mộc xác định cách cắt khối gỗ để cắt được chính xác.

Lời giải

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\)

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) có \(AB\;{\rm{//}}\;CD\) và \(MN\) cắt \(AB\) nên đường thẳng \(MN\) cắt đường thẳng \(CD\) tại \(I\). \(I\) và \(S\) là các điểm chung của mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).Suy ra giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng \(SI\).

b) Gọi \(E\) và \(G\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(SAB\) và \(SBC\). Chứng minh \(EG\;{\rm{//}}\;\left( {ABCD} \right)\).

\(E\) và \(G\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(SAB\) và \(SBC\) nên \(E \in SM,\) \(G \in SN\)  và \(\frac{{SE}}{{SM}} = \frac{2}{3};\;\frac{{SG}}{{SN}} = \frac{2}{3}.\)Tam giác \(SMN\) có \(\frac{{SE}}{{SM}} = \frac{{SG}}{{SN}}\) nên \(EG\;{\rm{//}}\;MN\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}EG \not\subset \left( {ABCD} \right)\\EG\;{\rm{//}}\;MN\\MN \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow EG\;{\rm{//}}\;\left( {ABCD} \right).\)

c) Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng đi qua đường thẳng \(EG\) và song song với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Xác định giao điểm của \(\left( \alpha  \right)\) với đường thẳng \(SD\) (gọi là điểm \(K\)) và tính diện tích tam giác \(EGK\), biết rằng diện tích hình thang \(ABCD\) bẳng \(27\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha  \right)\;{\rm{//}}\;\left( {ABCD} \right)\\\left( {SMD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MD\\E \in \left( {SMD} \right) \cap \left( \alpha  \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SMD} \right) \cap \left( \alpha  \right) = Ex\), với \(Ex\;{\rm{//}}\;MD\), \(Ex\; \cap SD = K\). Như vậy, \(K = \left( \alpha  \right) \cap SD\).

Tam giác \(SMD\) có \(EK\;{\rm{//}}\;MD\) nên \(\frac{{SK}}{{SD}} = \frac{{KE}}{{MD}} = \frac{{SE}}{{SM}} = \frac{2}{3}\). Tương tự \(\frac{{KG}}{{DN}} = \frac{2}{3}\), \(\frac{{EG}}{{MN}} = \frac{2}{3}\).

Suy ra tam giác \(EGK\) đồng dạng với tam giác \(MND\) theo tỉ số \(\frac{2}{3}\). Suy ra $\frac{S_{△EGK}}{S_{△MND}}=\frac{4}{9}$.

Mà $S_{△MND}=\frac{1}{2}{S}_{△BMDC}=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}{S}_{△ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{△ABCD}.$

Nên $S_{△EGK}=\frac{4}{27}{S}_{△ABCD}=4$.

Lời giải

a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {\frac{{ - {n^2} + 7n - 9}}{{5{n^2} + 2n}}} \right)\)\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{(\frac{{ - {n^2}}}{{{n^2}}} + \frac{{7n}}{{{n^2}}} - \frac{9}{{{n^2}}})}}{{(\frac{{5{n^2}}}{{{n^2}}} + \frac{{2n}}{{{n^2}}})}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{( - 1 + \frac{7}{n} - \frac{9}{{{n^2}}})}}{{(5 + \frac{2}{n})}}\]\[ = \frac{{ - 1 + 0 - 0}}{{5 + 0}} = \frac{{ - 1}}{5}\].

b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt {x + 21}  - 5}}{{2x - 8}}\]\[\mathop { = \lim }\limits_{x \to 4} \frac{{(\sqrt {x + 21}  - 5)(\sqrt {x + 21}  + 5)}}{{(2x - 8)(\sqrt {x + 21}  + 5)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x + 21 - 25}}{{(2x - 8)(\sqrt {x + 21}  + 5)}}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x - 4}}{{2(x - 4)(\sqrt {x + 21}  + 5)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{1}{{2(\sqrt {x + 21}  + 5)}} = \frac{1}{{2(\sqrt {4 + 21}  + 5)}} = \frac{1}{{20}}\].

c)\[\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{\sqrt {4{n^2} + n}  + 2n - 3}}{{n + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{\sqrt {4 + \frac{1}{n}}  + 2 - \frac{3}{n}}}{{1 + \frac{5}{n}}}\]\[ = \frac{{\sqrt {4 + 0}  + 2 - 0}}{{1 + 0}} = 4.\]

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {2023x + 1} \sqrt[3]{{2024x + 1}} - 1}}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {2023x + 1} \sqrt[3]{{2024x + 1}} - \sqrt[3]{{2024x + 1}}} \right) + \left( {\sqrt[3]{{2024x + 1}} - 1} \right)}}{x}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {2023x + 1} \sqrt[3]{{2024x + 1}} - \sqrt[3]{{2024x + 1}}}}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{2024x + 1}} - 1}}{x}\)\[\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{2024x + 1}}\left( {\sqrt {2023x + 1}  - 1} \right)\left( {\sqrt {2023x + 1}  + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt {2023x + 1}  + 1} \right)}}\\ + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt[3]{{2024x + 1}} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{(2024x + 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{2024x + 1}} + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt[3]{{{{(2024x + 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{2024x + 1}} + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2023.\sqrt[3]{{2024x + 1}}}}{{\left( {\sqrt {2023x + 1}  + 1} \right)}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2024}}{{\sqrt[3]{{{{(2024x + 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{2024x + 1}} + 1}} = \frac{{2023}}{2} + \frac{{2024}}{3} = \frac{{10117}}{6}.\end{array}\]