Cho dãy số viết dưới dạng khai triển là \(1,4,9,16,25,\) Trong các công thức sau, công thức nào là công thức tổng quát của dãy số trên?

Lời giải

Chọn B.

Ta có \({u_n} = \frac{{n + 5}}{{n + 2}} = 1 + \frac{3}{{n + 2}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = 1 + \frac{3}{{n + 3}}\)

Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{3}{{n + 3}} - \frac{3}{{n + 2}} = \frac{{ - 3}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} < 0\;\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Vậy \(({u_n})\)là dãy số giảm

Giải nhanh: Dãy này có dạng \({u_n} = \frac{{an + b}}{{cn + d}}\)

Mẫu \(n + 2 > 0\;\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) và \(ad - bc = 2 - 5 =  - 3 < 0\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

Lời giải

Chọn A.

Ta có \({u_n} = \frac{{4n + 5}}{{n + 1}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

\({u_n} = \frac{{4n + 5}}{{n + 1}} = \frac{{4(n + 1) + 1}}{{n + 1}} = 4 + \frac{1}{{n + 1}} \le 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2} \Rightarrow {u_n} \le \frac{9}{2},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Suy ra \(0 < {u_n} \le \frac{9}{2},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.

Giải nhanh: dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_n}\)có bậc của tử bằng bậc của mẫu nên bị chặn.