Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau \(\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + 1}}{2},{\rm{ }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\).

Lời giải

Chọn B.

Ta có \({u_n} = \frac{{n + 5}}{{n + 2}} = 1 + \frac{3}{{n + 2}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = 1 + \frac{3}{{n + 3}}\)

Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{3}{{n + 3}} - \frac{3}{{n + 2}} = \frac{{ - 3}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} < 0\;\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Vậy \(({u_n})\)là dãy số giảm

Giải nhanh: Dãy này có dạng \({u_n} = \frac{{an + b}}{{cn + d}}\)

Mẫu \(n + 2 > 0\;\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) và \(ad - bc = 2 - 5 =  - 3 < 0\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

Lời giải

Chọn A.

Ta có \({u_n} = \frac{{4n + 5}}{{n + 1}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

\({u_n} = \frac{{4n + 5}}{{n + 1}} = \frac{{4(n + 1) + 1}}{{n + 1}} = 4 + \frac{1}{{n + 1}} \le 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2} \Rightarrow {u_n} \le \frac{9}{2},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Suy ra \(0 < {u_n} \le \frac{9}{2},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.

Giải nhanh: dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_n}\)có bậc của tử bằng bậc của mẫu nên bị chặn.