Cho \(\Delta ABC\) có trung tuyến AI và trọng tâm G thì \(\frac{{GI}}{{AI}}\) bằng

a) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta EBM\) có:

\(BA = BE\) (gt);

\(\widehat {ABC} = \widehat {EBM}\) (đối đỉnh);

\(BC = BM\) (gt).

Do đó \(\Delta ABC = \Delta EBM\) (c.g.c)

b) Ta có \(\Delta ABC = \Delta EBM\) (câu a)

Suy ra \(\widehat {BCA} = \widehat {EMB}\) (hai cạnh tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \[ME\,{\rm{//}}\,AC\].

c) Vì \[ME\,{\rm{//}}\,AC\] (câu b) và \(EA \bot AC\) nên \(EA \bot EM\) hay \(\widehat {AEM} = 90^\circ \).

Xét \[\Delta EMA\] và \[\Delta HAM\] có:

\(\widehat {AEM} = \widehat {AHM} = 90^\circ \);

Cạnh \(AM\) chung;

\(\widehat {EMA} = \widehat {HAM}\) (\[ME\,{\rm{//}}\,AC\], so le trong)

Do đó \[\Delta EMA = \Delta HAM\] (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(EM = AH\) (hai cạnh tương ứng).

Mà \(EM = AC\) (vì \(\Delta ABC = \Delta EBM\)) nên \(AH = AC\) suy ra \(MA\) đường trung tuyến của \(\Delta HMC\).

Vì \(\Delta ABC = \Delta EBM\) (câu a) nên \(BC = BM\) (hai cạnh tương ứng) suy ra \(HB\) đường trung tuyến của \(\Delta HMC\).

Xét \(\Delta HMC\) có \(MA,\,\,HB\) là hai đường trung tuyến cắt nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm \(\Delta HMC\).

Mặt khác, I là trung điểm của MH nên \(CI\) là đường trung tuyến của \(\Delta HMC\).

Do đó ba điểm \(C,\,\,G,\,\,I\) thẳng hàng.

Ta có \(F\left( {10} \right) = 100a + 10\;b + c\); \(F\left( { - 3} \right) = 9a - 3\;b + c\).

Suy ra \(F\left( {10} \right) - F\left( { - 3} \right) = \left( {100a + 10b + c} \right) - \left( {9a - 3\;b + c} \right)\)\( = 91a + 13\;b = 13\left( {7a + b} \right) = 0\).

Khi đó \(F\left( {10} \right) = F\left( { - 3} \right)\).

Do đó \(F\left( {10} \right) \cdot F\left( { - 3} \right) = {\left[ {F\left( {10} \right)} \right]^2} \ge 0\).

Vậy \(F\left( {10} \right) \cdot F\left( { - 3} \right)\) là một số không âm.