Lớp 10A có 20 học sinh chơi tốt môn bóng đá và 15 học sinh chơi tốt môn bóng chuyền; biết rằng có 10 học sinh vừa chơi tốt môn bóng đá, vừa chơi tốt môn bóng chuyền. Để được giáo viên chủ nhiệm chọn vào câu lạc bộ thể thao của lớp thì học sinh đó phải chơi tốt môn bóng đá hoặc môn bóng chuyền; hỏi câu lạc bộ thể thao của lớp có tối đa bao nhiêu học sinh.

Bước 1: Vẽ đường thẳng \(d\): \( - 2x + 5y = 10\).

Bước 2: Lấy \(O\left( {0;\,0} \right)\) không thuộc \(d\).

Bước 3: Thế tọa độ điểm \(O\) vào biểu thức \( - 2x + 5y\) ta được \( - 2.0 + 5.0 < 10\) không thỏa bpt.

Bước 4: Miền nghiệm của bpt là phần mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d\) không chứa điểm \(O\).

Gọi \(x\) (kg) là sản phẩm loại I mà xưởng sản xuất được (\(x \ge 0\)).

Gọi \(y\) (kg) là sản phẩm loại II mà xưởng sản xuất được (\(y \ge 0\)).

Số nguyên liệu mà xưởng dùng để sản xuất hai loại sản phẩm là:

\(2x + 3y\) (kg).

Thời gian mà xưởng cần để sản xuấ hai loại sản phẩm là:

\(30x + 15y\) (giờ).

Vì số nguyên liệu là 160 kg nên ta có bất phương trình \(2x + 3y \le 160\,\,\left( {{\rm{kg}}} \right)\)

Thời gian tối đa để sản xuất là 1 200 giờ nên ta có bất phương trình \(30x + 15y \le 1200 \Leftrightarrow 6x + 3y \le 240\).

Vậy \(x,\,y\) thỏa hệ bất phương trình  \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\2x + 3y \le 160\\6x + 3y \le 240\end{array} \right.\).

Có biểu diễn miền nghiệm là tứ giác \(OABC\) như hình vẽ (kể cả cạnh của nó).

Lợi nhuận thu được là \(F = 40x + 30y\,\,\)nghìn đồng.

\(F\left( {0;\,0} \right) = 0\)

\(F\left( {0;\frac{{160}}{3}} \right) = 1600\)

\(F\left( {40;0} \right) = 1600\)

\(F\left( {20;40} \right) = 2000\)

Vậy để lợi nhuận cao nhất thì xưởng phải sản xuất 20 (kg) sản phẩm loại I và 40 (kg) sản phẩm loại II.