Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm × 240cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây).

• Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

• Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.

Kí hiệu V₁ là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V₂ là tổng thể tích của hai thùng gò được theo cách 2. Tính tỉ số V₁/V₂.

Giám đốc của nhà hát A đang phân vân trong việc xác định giá vé xem các chương trình được chiếu trong nhà hát. Việc này rất quan trọng, nó sẽ quyết định nhà hát thu được lợi nhuận hay bị tổn thất. Theo những cuốn sổ ghi chép, ông ta xác định rằng: Nếu giá vé vào cửa Là 20$ thì trung bình có 1000 người đến xem. Nhưng nếu tăng tiền vé lên 1$ mỗi người thì sẽ mất 100 khách hàng trong số trung bình. Trung bình mỗi khách hàng dành 1,8$ cho việc uống nước trong nhà hát. Hãy giúp giám đốc nhà máy này xác định xem cần tính giá vé vào cửa bao nhiêu để tổng thu nhập lớn nhất.

Xét các hình chữ nhật được lát khít bởi các cặp gạch lát hình vuông có tổng diện tích là 1, việc lát được thực hiện theo cách: hai hình vuông được xếp nằm hoàn toàn trong hình chữ nhật mà phần trong của chúng không đè lên nhau, các cạnh của hai hình vuông thì nằm trên hoặc song song với các cạnh của hình chữ nhật. Khi đó giá trị bé nhất của diện tích hình chữ nhật nêu trên là?

Cho hàm số y=x4−4x2+my = x^4 - 4x^2 + my=x4−4x2+m có đồ thị là (C). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) với y<0y < 0y<0 và trục hoành, S’ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) với y>0y > 0y>0 và trục hoành. Với giá trị nào của m thì S=S′S = S'S=S′?

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km, khoảng cách từ B đến A là 4 km. Mỗi km dây điện đặt dưới nước tốn 5000 USD, trên mặt đất tốn 3000 USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu km để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất?

Một cửa hàng bán thú kiềng cần làm một chuồng thú hình chữ nhật sao cho phần cần làm hàng rào là 20 m. Chú ý rằng, hình chữ nhật này có hai cạnh trùng với mép của hai bức tường trong góc nhà nên không cần rào. Các cạnh cần rào của hình chữ nhật là bao nhiêu để diệnh tích của nó là lớn nhất ?

Một người có một dải ruy băng dài 130cm, người đó cần bọc dải ruy băng đó quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10cm của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nắp hộp (như hình vẽ minh họa). Hỏi dải dây duy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là là nhiêu ?

Trong một bản hợp ca, coi mọi ca sĩ đều hát với cường độ âm và coi cùng tần số. Khi một ca sĩ hát thì cường độ âm là 68dB. Khi cả ban hợp ca cùng hát thì đo được mức cường độ âm là 80dB. Tính số ca sĩ có trong ban hợp ca đó, biết mức cường độ âm L được tính theo công thức L = 10log I / I₀ trong đó I là cường độ âm và I₀ là cường độ âm chuẩn.