Một hộp có 1 quả bóng màu xanh, 1 quả bóng màu đỏ, 1 quả bóng màu vàng; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Mỗi lần bạn Hùng lấy ngẫu nhiên 1 quả bóng trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Trong 40 lần lấy bóng liên tiếp, quả bóng màu xanh xuất hiện 12 lần, quả bóng màu đỏ xuất hiện 17 lần.

a) Tính xác suất thực nghiệm của biến cố: “Quả bóng lấy ra là quả bóng màu vàng”.

b) Khi đố lần lấy ra ngẫu nhiên một quả bóng càng lớn thì xác suất thực nghiệm của biến cố “Quả bóng lấy ra là quả bóng màu vàng” ngày càng gần với số thực nào?

a) Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\widehat {BAD} = 90^\circ .\)

Vì \(AH\) vuông góc với \(BD\) tại \(H\) nên \(\widehat {AHB} = 90^\circ .\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HBA\) có \(\widehat {BAD} = \widehat {AHB} = 90^\circ \,;\,\,\widehat {ABH}\) chung.

Do đó  (g.g).

b) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HAD\) có: \(\widehat {BAD} = \widehat {AHD} = 90^\circ \,;\,\,\widehat {ADH}\) chung.

Do đó  (g.g).

Suy ra\(\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}\), do đó \(A{D^2} = BD \cdot DH.\)

Mà \(AD = BC\) (do \(ABCD\) là hình chữ nhật) nên \(B{C^2} = BD \cdot DH.\)

c) Vì \(DE\) là đường phân giác của \(\Delta ABD\) nên \(\widehat {ADI} = \widehat {HDI}\).

Chứng minh  (g.g) nên \(\widehat {DIH} = \widehat {IEA}.\)

Mà \(\widehat {DIH} = \widehat {AIE}\) (đối đỉnh) suy ra \(\widehat {IEA} = \widehat {AIE}.\) Do đó \(\Delta AIE\) cân tại \(A\).

Xét \(\Delta ADH\) có \(DI\) là đường phân giác nên \(\frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{DH}}{{DA}}.\)

Mà \(AE = AI\) (\(\Delta AIE\) cân tại \(A\))  (1)

Từ câu b, ta có: \(\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}\) nên \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{DH}}{{AD}}\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{IH}}{{EA}} = \frac{{AD}}{{BD}}. & (*)\)

Xét \(\Delta ADB\) có \(DE\) là đường phân giác nên \(\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AD}}{{BE}}. & (**)\)

Từ (*) và (**) suy ra \(\frac{{IH}}{{EA}} = \frac{{AE}}{{EB}}.\) Do đó \(A{E^2} = IH \cdot EB.\)

Vậy \(\Delta AIE\) cân tại \(A\) và \(A{E^2} = IH \cdot EB.\)

Ta có \({m^2}x + 2m - 8 = 16x\)

\(\left( {{m^2} - 16} \right)x =  - 2m + 8\)

\(\left( {m - 4} \right)\left( {m + 4} \right)x =  - 2\left( {m - 4} \right)\)

Phương trình (1) là phương trình bậc nhất thì \(m \ne  \pm \,4.\)

Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{ - 2}}{{m + 4}}.\)

Phương trình có nghiệm nguyên khi \(m + 4 \in \)Ư\[\left( { - 2} \right) = \left\{ { - 2\,;\,\, - 1\,;\,\,1\,;\,\,2} \right\}.\]

Do đó \[m \in \left\{ { - 6\,;\,\, - 5\,;\,\, - 3\,;\,\, - 2} \right\}.\]

Vậy để phương trình (1) là phương trình bậc nhất ẩn \(x\) và có nghiệm là số nguyên thì\[m \in \left\{ { - 6\,;\,\, - 5\,;\,\, - 3\,;\,\, - 2} \right\}.\]